當前位置： 2022-2023學年湖南省永州一中高三（上）月考數(shù)學試卷> 試題詳情

已知O為坐標原點，橢圓
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，直線x=n與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，當△EF₁F的周長取得最大值8時，|EF|=3．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點F₂作斜率存在且不為0的直線l交橢圓C于A、B兩點，若
P
（
1
，
3
2
）
，直線AP與直線x=4交于點Q，記直線QA、QB的斜率分別為k₁，k₂，試判斷|k₁-k₂|是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．

【考點】直線與橢圓的綜合；橢圓的標準方程；橢圓的幾何特征．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/8/22 20:0:1組卷：19引用：2難度：0.3

相似題

1．歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線l′表示與橢圓C的切線垂直且過相應切點的直線，利用橢圓的光學性質(zhì)解決以下問題：
如圖乙，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為F₁（-c,0），F(xiàn)₂（c,0）（c＞0），由F₁發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到F₁經(jīng)過的路程為
8
3
3
c
．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為l,F₂在l上的射影H在圓x²+y²=4上，求橢圓C的方程．
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：137引用：1難度：0.5
解析
2．已知橢圓
4
x
2
25
+
y
2
3
=
1
的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，第一象限內(nèi)的點M在橢圓上，且滿足MF₁⊥MF₂，點N在線段F₁F₂上，設λ=
|
F
1
N
|
|
N
F
2
|
，將△MF₁F₂沿MN翻折，使得平面MNF₁與平面MNF₂垂直，要使翻折后|F₁F₂|的長度最小，則λ=（　?。?/h2>
A．
3
2
B．2 C．
4
9
D．
9
4
發(fā)布：2024/11/6 12:0:1組卷：454引用：4難度：0.3
解析
3．橢圓的光學性質(zhì)：光線從橢圓的一個焦點出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個焦點．現(xiàn)有一橢圓
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，長軸A₁A₂長為4，從一個焦點F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點P反射之后恰好與x軸垂直，且
PF
=
5
2
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）點Q為直線x=4上一點，且Q不在x軸上，直線QA₁，QA₂與橢圓C的另外一個交點分別為M，N，設△QA₁A₂，△QMN的面積分別為S₁，S₂，求
S
1
S
2
的最大值．
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：43引用：2難度：0.5
解析

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