當(dāng)前位置： 2022-2023學(xué)年浙江省溫州市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（A卷）> 試題詳情

如圖，橢圓
x
2
4
+
y
2
=
1
的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P（x₀，y₀）是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，經(jīng)過三點(diǎn)P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂的圓與y軸正半軸交于點(diǎn)A（0，y₁），經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）且與x軸垂直的直線l與直線AP交于點(diǎn)Q．
（1）求證：y₀y₁=1；
（2）試問：x軸上是否存在不同于點(diǎn)B的定點(diǎn)M，滿足當(dāng)直線MP，MQ的斜率存在時(shí)，兩斜率之積為定值？若存在定點(diǎn)M，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【考點(diǎn)】橢圓的定點(diǎn)及定值問題．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：96引用：3難度：0.5

相似題

1．點(diǎn)
M
（
2
，
1
）
在橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
上，且點(diǎn)M到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為
2
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知?jiǎng)又本€y=k（x+1）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，在x上是否存在點(diǎn)若P使得
PA
?
PB
為定值？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
發(fā)布：2024/10/21 13:0:2組卷：61引用：1難度：0.1
解析
2．分別過橢圓E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）左、右焦點(diǎn)F₁、F₂的動(dòng)直線l₁，l₂相交于P點(diǎn)，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點(diǎn)，直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄，且滿足k₁-k₃=k₄-k₂，已知當(dāng)l₁與x軸重合時(shí)，|AB|=2
5
，|CD|=
2
5
5
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在定點(diǎn)M，N，使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
發(fā)布：2024/10/12 2:0:2組卷：94引用：2難度：0.4
解析
3．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左頂點(diǎn)為A（-2，0），焦距為
2
3
．動(dòng)圓D的圓心坐標(biāo)是（0，2），過點(diǎn)A作圓D的兩條切線分別交橢圓于M和N兩點(diǎn)，記直線AM、AN的斜率分別為k₁和k₂．
（1）求證：k₁k₂=1；
（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，作OP⊥MN，垂足為P．是否存在定點(diǎn)Q，使得|PQ|為定值？
發(fā)布：2024/10/18 2:0:2組卷：81引用：2難度：0.3
解析

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