當(dāng)前位置： 2022-2023學(xué)年福建省福州市八縣（市、區(qū)）一中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
過(guò)點(diǎn)
（
0
，
3
）
，且離心率為
1
2
，設(shè)A、B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上不同于A、B的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是橢圓C長(zhǎng)軸上的不同于A、B的任意一點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)△PF₁F₂內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線PQ與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)N，若
1
|
PQ
|
+
1
|
QN
|
的值為定值，則稱(chēng)此時(shí)的點(diǎn)Q為“穩(wěn)定點(diǎn)”，問(wèn)：是否存在這樣的穩(wěn)定點(diǎn)？若有，試求出所有“穩(wěn)定點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；若沒(méi)有，也請(qǐng)說(shuō)明理由．

【考點(diǎn)】橢圓的定點(diǎn)及定值問(wèn)題．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：70引用：3難度：0.5

相似題

1．點(diǎn)
M
（
2
，
1
）
在橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
上，且點(diǎn)M到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為
2
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知?jiǎng)又本€y=k（x+1）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，在x上是否存在點(diǎn)若P使得
PA
?
PB
為定值？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
發(fā)布：2024/10/21 13:0:2組卷：62引用：1難度：0.1
解析
2．分別過(guò)橢圓E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）左、右焦點(diǎn)F₁、F₂的動(dòng)直線l₁，l₂相交于P點(diǎn)，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點(diǎn)，直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄，且滿(mǎn)足k₁-k₃=k₄-k₂，已知當(dāng)l₁與x軸重合時(shí)，|AB|=2
5
，|CD|=
2
5
5
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在定點(diǎn)M，N，使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
發(fā)布：2024/10/12 2:0:2組卷：95引用：2難度：0.4
解析
3．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左頂點(diǎn)為A（-2，0），焦距為
2
3
．動(dòng)圓D的圓心坐標(biāo)是（0，2），過(guò)點(diǎn)A作圓D的兩條切線分別交橢圓于M和N兩點(diǎn)，記直線AM、AN的斜率分別為k₁和k₂．
（1）求證：k₁k₂=1；
（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，作OP⊥MN，垂足為P．是否存在定點(diǎn)Q，使得|PQ|為定值？
發(fā)布：2024/10/18 2:0:2組卷：82引用：2難度：0.3
解析

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