當(dāng)前位置： 2022-2023學(xué)年天津一中高三（下）第五次月考數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓一焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另一焦點(diǎn)．
現(xiàn)有一橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0），長軸長為4，從一個(gè)焦點(diǎn)F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射之后恰好與x軸垂直，且PF=
7
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知A為該橢圓的左頂點(diǎn)，若斜率為k且不經(jīng)過點(diǎn)A的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，記直線AM，AN的斜率分別為k₁，k₂，且滿足k（k₁+k₂）=2．
①證明：直線l過定點(diǎn)；
②若|OM|²+|ON|²=5，求k的值．

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/7/16 8:0:9組卷：105引用：1難度：0.5

相似題

1．橢圓E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，右頂點(diǎn)為A，設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓E上異于左、右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，△OAB面積的最大值為
3
．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l：x=t交x軸于點(diǎn)P，其中t＞a,直線PB交橢圓E于另一點(diǎn)C，直線BA和CA分別交直線l于點(diǎn)M和N，若O，A，M，N四點(diǎn)共圓，求t的值．
發(fā)布：2024/10/29 7:0:1組卷：594引用：18難度：0.5
解析
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E的焦點(diǎn)為F₁（-
3
，0），F(xiàn)₂（
3
，0），且過點(diǎn)（
3
，
1
2
），橢圓E的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，右頂點(diǎn)為D，直線l過點(diǎn)D且垂直于x軸．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)Q在橢圓E上（且在第一象限），直線AQ與l交于點(diǎn)N，直線BQ與x軸交于點(diǎn)M，試問：|OM|+2|DN|是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
發(fā)布：2024/10/31 5:0:1組卷：233引用：3難度：0.5
解析
3．已知橢圓E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F₂，上頂點(diǎn)為H，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠OHF₂=30°，點(diǎn)（1，
3
2
）在橢圓E上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F₂且斜率不為0的直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（-2，0），Q（2，0）．若M，N分別為直線AP，BQ與y軸的交點(diǎn)，記△MPQ，△NPQ的面積分別為S_△MPQ，S_△NPQ，求
S
△
MPQ
S
△
NPQ
的值．
發(fā)布：2024/10/28 4:0:1組卷：257引用：9難度：0.6
解析

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