當(dāng)前位置： 2023-2024學(xué)年遼寧省大連市沙河口區(qū)部分學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：
如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AC上一點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，∠AEF=∠ABD．求證：∠BAD=∠CGF．
獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問(wèn)題；
實(shí)踐探究：（2）王老師提出了新問(wèn)題，求證DG=AF．王老師的問(wèn)題引發(fā)了同學(xué)們的思考，并積極地進(jìn)行了小組討論．在展示交流的過(guò)程中，小明同學(xué)分享了他的思路，他先發(fā)現(xiàn)并證明了AE和GE相等，然后又構(gòu)造全等得到了結(jié)論．相信你也得到了啟發(fā)，請(qǐng)你完成證明DG=AF；
問(wèn)題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，如圖2，當(dāng)BG=CF=3AF時(shí)，可以求
AD
GD
的值，請(qǐng)你嘗試完成解答．

【考點(diǎn)】相似形綜合題．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/10/3 0:0:1組卷：238引用：1難度：0.2

相似題

1．如果兩個(gè)多邊形不僅相似（相似比不等于1），而且有一條公共邊，那么就稱這兩個(gè)多邊形是共邊相似多邊形．例如，圖①中，△ABC與△ACD是共AC邊相似三角形，圖②中，?ABCD與?CEFD是共CD邊相似四邊形．

（1）判斷下列命題的真假（在相應(yīng)括號(hào)內(nèi)填上“真”或“假”）：
①正三角形的共邊相似三角形是正三角形．

②如果兩個(gè)三角形是位似三角形，那么這兩個(gè)三角形不可能是共邊相似三角形．

（2）如圖③，在△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，畫(huà)2個(gè)不全等的三角形，使這2個(gè)三角形均是與△ABC共BC邊的相似三角形．（要求：畫(huà)圖工具不限，不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡或有必要的說(shuō)明）
（3）圖④是相鄰兩邊長(zhǎng)分別為a、b（a＞b）的矩形，圖⑤是邊長(zhǎng)為c的菱形，圖⑥是兩底長(zhǎng)分別為d、e,腰長(zhǎng)為f（0＜e-d＜2f）的等腰梯形，判斷這三個(gè)圖形是否存在共邊相似四邊形？如果存在，直接寫(xiě)出它們的共邊相似四邊形各邊的長(zhǎng)度．

（4）根據(jù)（1）、（2）和（3）中獲得的經(jīng)驗(yàn)回答：如果一個(gè)多邊形存在它的共邊相似多邊形，那么它必須滿足條件：
．
發(fā)布：2024/10/27 17:0:2組卷：171引用：2難度：0.1
解析
2．我們知道：如果兩個(gè)三角形不僅是相似三角形，而且每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)三角形叫做位似三角形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．利用三角形的位似可以將一個(gè)三角形縮小或放大．
（1）如圖①，點(diǎn)O是等邊三角形PQR的中心，P′，Q′，R′分別是OP，OQ，OR的中點(diǎn)，則△P′Q′R′與△PQR是位似三角形．此時(shí)，△P′Q′R′與△PQR的位似比、位似中心分別為（　　）
A.2，點(diǎn)P
B.
1
2
，點(diǎn)P
C.2，點(diǎn)O
D.
1
2
，點(diǎn)O
（2）如圖②，用下面的方法可以畫(huà)△AOB的內(nèi)接等邊三角形．閱讀后證明相應(yīng)問(wèn)題．
畫(huà)法：
①在△AOB內(nèi)畫(huà)等邊三角形CDE，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上；
②連結(jié)OE并延長(zhǎng)，交于AB于點(diǎn)E′，過(guò)點(diǎn)E′作E′C′∥EC，交OA于點(diǎn)C′，作E′D′∥ED，交OB于點(diǎn)D′；
③連結(jié)C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接等邊三角形．
求證：△C′D′E′是等邊三角形．
發(fā)布：2024/10/27 17:0:2組卷：39引用：0難度：0.5
解析
3．已知，BD是菱形ABCD的對(duì)角線，△DEF是直角三角形，∠EDF=90°，∠DEF=
1
2
∠A，連接BE，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，連接CG、BF．

【動(dòng)手操作】
（1）當(dāng)∠A=90°時(shí)，①如圖1，若△DEF的頂點(diǎn)E落在線段CD上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CG與線段BF的數(shù)量關(guān)系
：②如圖2，當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)E落在線段BD上時(shí)，①中線段CG與線段BF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
同學(xué)們經(jīng)過(guò)討論，探究出以下解決問(wèn)題的思路：
思路一：連接AC，記AC與BD相交于點(diǎn)O，AC與BF相交于點(diǎn)M，再利用三角形全等或相似的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題．
思路二：記AD與EF交于點(diǎn)H，易知H是EF的中點(diǎn)，連接CH，將△CDH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等或相似的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題．請(qǐng)參考上述思路，完成該問(wèn)題的解答過(guò)程（一種方法即可）
【類比探究】
（2）當(dāng)∠A=120°時(shí)，如圖3，若△DEF的頂點(diǎn)E落在線段CD上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CG與線段BF的數(shù)量關(guān)系
．
發(fā)布：2024/11/4 8:0:2組卷：223引用：1難度：0.3
解析

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