當(dāng)前位置： 2023-2024學(xué)年福建省泉州市惠安縣第二教研聯(lián)盟八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長(zhǎng)都為a,較小的直角邊長(zhǎng)都為b,斜邊長(zhǎng)都為c），大正方形的面積可以表示為c²，也可以表示為
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×
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ab
+
（
a
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b
）
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，由此推導(dǎo)出直角三角形的三邊關(guān)系：如果直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,則a²+b²=c²．

（1）圖②為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)上面的關(guān)系式．利用以上所得的直角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解答：
（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB=AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測(cè)得CH=6千米，HB=4.5千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）問(wèn)中若AB≠AC時(shí)，CH⊥AB，AC=8，BC=10，AB=12，設(shè)AH=x,求x的值．

【考點(diǎn)】勾股定理的證明．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/10/8 2:0:2組卷：223引用：2難度：0.5

相似題

1．如圖所示的“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．該圖由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a,較短直角邊長(zhǎng)為b.若ab=10，大正方形面積為25，則小正方形邊長(zhǎng)為（　?。?/h2>
A．
3
B．2 C．
5
D．3
發(fā)布：2024/11/1 11:30:2組卷：1201引用：7難度：0.5
解析
2．請(qǐng)閱讀下面文字并完成相關(guān)任務(wù)．
勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱(chēng)為“幾何學(xué)的基石”．在我國(guó)最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽．
（1）如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以驗(yàn)證勾股定理，思路是：大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c²，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即
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2
ab
×
4
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（
b
-
a
）
2
，從而得到等式c²=
1
2
ab
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（
b
-
a
）
2
，化簡(jiǎn)便得結(jié)論a²+b²=c²．這里用兩種求法來(lái)表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱(chēng)之為“雙求法”．現(xiàn)在，請(qǐng)你用“雙求法”解決下面問(wèn)題：
如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4，AC=5，BC=6，設(shè)BD=x,求x的值．
?
（2）2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)和2021年在上海召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)會(huì)標(biāo)，都包含了趙爽的弦圖．如圖3，如果大正方形的面積為18，直角三角形中較短直角邊長(zhǎng)為a,較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為b,且a²+b²=ab+10，那么小正方形的面積為
．
（3）勾股定理本身及其驗(yàn)證和應(yīng)用過(guò)程都體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想是
．
A．函數(shù)思想
B．整體思想
C．分類(lèi)討論思想
D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想
發(fā)布：2024/10/19 8:0:2組卷：202引用：1難度：0.5
解析
3．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小明以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖①或圖②擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明，下面是小明利用圖①證明勾股定理的過(guò)程：將兩個(gè)全等的直角三角形按圖①所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a²+b²=c²．

證明：連接DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b-a,FC=DE=b,
∵S_{四邊形ADCB}=S_△ACD+S_△ABC=
1
2
b²+
1
2
ab,
S_{四邊形ADCB}=S_△ADB+S_△DCB=
1
2
c²+
1
2
a（b-a）
∴
1
2
b²+
1
2
ab=
1
2
c²+
1
2
a（b-a）
∴a²+b²=c²．
請(qǐng)參照上述證法，利用圖②完成下面的證明：
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖②所示擺放，其中∠DAB=90°．求證：a²+b²=c²．
發(fā)布：2024/10/20 7:0:2組卷：194引用：1難度：0.7
解析

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