【閱讀新知】19世紀(jì)英國(guó)著名文學(xué)家和歷史學(xué)家卡萊爾給出了一元二次方程x²+bx+c=0的幾何解法：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1）、B（-b,c），以AB為直徑作⊙P．若⊙P交x軸于點(diǎn)M（m,0）、N（n,0），則m、n為方程x²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
【探究新知】
（1）由勾股定理得，AM²=1²+m²，BM²=c²+（-b-m）²，AB²=（1-c）²+b²．
在Rt△ABM中，AM²+BM²=AB²，所以1²+m²+c²+（-b-m）²=（1-c）²+b²．
化簡(jiǎn)得：m²+bm+c=0．同理可得：
n²+bn+c=0
n²+bn+c=0
．
所以m、n為方程x²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
【運(yùn)用新知】
（2）在圖2中的x軸上畫(huà)出以方程x²-4x-2=0兩根為橫坐標(biāo)的點(diǎn)M、N．
（3）已知點(diǎn)A（0，1）、B（-10，25），以AB為直徑作⊙C．判斷⊙C與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【拓展提升】
（4）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（0，a）、B（-b,c），若以AB為直徑的圓與交x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，則以點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程是
x²+bx+ac=0
x²+bx+ac=0
．

【考點(diǎn)】圓的綜合題．

【答案】n²+bn+c=0；x²+bx+ac=0

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/9/4 7:0:9組卷：177引用：1難度：0.1

相似題

1．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)H，∠BDC=∠CBE．
（1）求證：BE是圓O的切線；
（2）若CD⊥AB，AC=2，BH=3，求劣弧BC的長(zhǎng)；
（3）如圖，若CD∥BE，作DF∥BC，滿足BC=2DF，連接FH、BF，求證：FH=BF．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：96引用：1難度：0.1
解析
2．如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于G，射線DO與直線CE相交于點(diǎn)E，直線DB與CE交于點(diǎn)H，且∠BDC=∠BCH．
（1）求證：直線CE是圓O的切線．
（2）如圖1，若OG=BG，BH=1，直接寫(xiě)出圓O的半徑；
（3）如圖2，在（2）的條件下，將射線DO繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得射線DM，DM與AB交于點(diǎn)M，與圓O及切線CF分別相交于點(diǎn)N，F(xiàn)，當(dāng)GM=GD時(shí)，求切線CF的長(zhǎng)．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：775引用：2難度：0.1
解析
3．如圖，AB是圓O的直徑，AB=6，D是半圓ADB上的一點(diǎn)，C是弧BD的中點(diǎn)．
（1）若∠ABD=30°，求BC的長(zhǎng)和由弦BC、BD、和弧CD圍成的圖形面積；
（2）若弧AD的度數(shù)是120度，在半徑OB上是否存在點(diǎn)P，使得PC+PD的值最小，如果存在，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出P的位置，并求PC+PD的最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：42引用：0難度：0.3
解析

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