已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²，g（x）=

1

x

+x+b,且直線y=-

1

2

是函數(shù)f（x）的一條切線．
（1）求a的值；
（2）對任意的x₁∈[1，

e

]，都存在x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求b的取值范圍
（3）已知方程f（x）=cx有兩個根x₁，x₂（x₁＜x₂），若g（x₁+x₂）+2c=0，求證：b＜0．