設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：“①方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1”．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=x2+sinx4是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性質(zhì)：若f（x）的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m,n]?D，都存在x0∈[m,n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程f（x）-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
（Ⅲ）設(shè)x1是方程f（x）-x=0的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于f（x）定義域中任意的x2、x3，當(dāng)|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1時(shí)，|f（x3）-f（x2）|＜2．
f
（
x
）
=
x
2
+
sinx
4
【考點(diǎn)】不等式的證明．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/8/11 9:0:1組卷：520引用：10難度：0.5
相似題
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1．已知關(guān)于x的不等式|x+1|-|x-2|≥|t-1|+t有解．
（1）求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）若a,b,c均為正數(shù)，m為t的最大值，且2a+b+c=m.求證：．a2+b2+c2≥23發(fā)布：2024/12/29 8:0:12組卷：65引用：9難度：0.5 -
2．已知函數(shù)f（x）滿足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，設(shè)無窮數(shù)列{an}滿足an+1=f（an）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若a1=3，從第幾項(xiàng)起，數(shù)列{an}中的項(xiàng)滿足an＜an+1；
（3）若1+＜a1＜1m（m為常數(shù)且m∈N，m≠1），求最小自然數(shù)N，使得當(dāng)n≥N時(shí)，總有0＜an＜1成立．mm-1發(fā)布：2025/1/14 8:0:1組卷：62引用：2難度：0.5 -
3．我們知道，
，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立．即a,b的算術(shù)平均數(shù)的平方不大于a,b平方的算術(shù)平均數(shù)．此結(jié)論可以推廣到三元，即（a+b2）2≤a2+b22，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立．（a+b+c3）2≤a2+b2+c23
（1）證明：，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立．（a+b+c3）2≤a2+b2+c23
（2）已知x＞0，y＞0，z＞0，若不等式恒成立，利用（1）中的不等式，求實(shí)數(shù)t的最小值．x+y+z≤tx+y+z發(fā)布：2024/10/12 1:0:1組卷：15引用：2難度：0.4