【新知】
19世紀(jì)英國著名文學(xué)家和歷史學(xué)家卡萊爾給出了一元二次方程x2+bx+c=0的幾何解法：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1）、B（-b,c），以AB為直徑作⊙P．若⊙P交x軸于點(diǎn)M（m,0）、N（n,0），則m、n為方程x2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
【探究】
（1）由勾股定理得，AM2=12+m2，BM2=c2+（-b-m）2，AB2=（1-c）2+b2．在Rt△ABM中，AM2+BM2=AB2所以12+m2+c2+（-b-m）2=（1-c）2+b2．
化簡得：m2+bm+c=0．同理可得：n2+bn+c=0n2+bn+c=0．
所以m、n為方程x2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
【運(yùn)用】
（2）在圖2中的x軸上畫出以方程x2-3x-2=0兩根為橫坐標(biāo)的點(diǎn)M、N．
（3）已知點(diǎn)A（0，1）、B（6，9），以AB為直徑作⊙C．判斷⊙C與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．
【拓展】
（4）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（0，a）、B（-b,c），若以AB為直徑的圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，則以點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程是 x2+bx+ac=0x2+bx+ac=0．
【答案】n2+bn+c=0；x2+bx+ac=0
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/9/6 12:0:8組卷：1839引用：8難度：0.4
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