當(dāng)前位置： 2023-2024學(xué)年重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

已知橢圓K：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），過(guò)右焦點(diǎn)F₂的直線(xiàn)l交橢圓K于M，N兩點(diǎn)，以線(xiàn)段|MF₂|為直徑的圓C與圓C₁：x²+y²=8內(nèi)切．
（1）求橢圓K的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NQ⊥x軸于點(diǎn)Q，OM與NE交于點(diǎn)P，是否存在直線(xiàn)l截得△PMN的面積等于
6
2
？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的幾何特征．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：175引用：2難度：0.5

相似題

1．已知焦點(diǎn)在y軸的橢圓C上、下焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為
3
2
，直線(xiàn)y=mx+1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求m的值；
（3）已知真命題：“如果點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上，那么過(guò)點(diǎn)P的橢圓的切線(xiàn)方程為
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=1．”利用上述結(jié)論，解答下面問(wèn)題：
若點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線(xiàn)l,使l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的PF₁，PF₂斜率分別為k₁，k₂．若k≠0，試證明k（k₁+k₂）為定值，并求出這個(gè)定值．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：72引用：1難度：0.1
解析
2．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓Ω，它的離心率為
1
2
，一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線(xiàn)y²=-4x的焦點(diǎn)重合，過(guò)直線(xiàn)l：x=4上一點(diǎn)M引橢圓Ω的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別是A，B．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）若在橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
上的點(diǎn)（x₀，y₀）處的橢圓的切線(xiàn)方程是
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=1．求證：直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)C；并求出定點(diǎn)C的坐標(biāo)．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：83引用：1難度：0.1
解析
3．橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知Q（x₀，y₀）為橢圓上任意一點(diǎn)，求以Q為切點(diǎn)，橢圓的切線(xiàn)方程．
（3）設(shè)點(diǎn)P為直線(xiàn)x=4上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作橢圓兩條切線(xiàn)PA，PB，求證直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：77引用：1難度：0.1
解析

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