開(kāi)普勒用二十年的時(shí)間研究第谷的行星觀測(cè)數(shù)據(jù)，分別于1609年和1619年發(fā)表了下列定律：
開(kāi)普勒第一定律所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。
開(kāi)普勒第二定律對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等。
開(kāi)普勒第三定律所有行星軌道的半長(zhǎng)軸a的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方的比都相等，即

a

3

T

2

=k,k是一個(gè)對(duì)所有行里都相同的常量。
（1）在研究行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律時(shí)，將行星軌道簡(jiǎn)化為一半徑為r的圓軌道
a.如圖1所示，設(shè)行星與太陽(yáng)的連線在一段非常非常小的時(shí)間Δt內(nèi)，掃過(guò)的扇形面積為ΔS。求行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的線速度的大小v,并結(jié)合開(kāi)普勒第二定律證明行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；（提示：扇形面積=

1

2

×半徑×弧長(zhǎng)）
b.請(qǐng)結(jié)合開(kāi)普勒第三定律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律，證明太陽(yáng)對(duì)行星的引力F與行星軌道半徑r的平方成反比。
（2）牛頓建立萬(wàn)有引力定律之后，人們可以從動(dòng)力學(xué)的視角，理解和解釋開(kāi)普勒定律。已知太陽(yáng)質(zhì)量為M_S、行星質(zhì)量為M_P、太陽(yáng)和行星間距離為L(zhǎng)、引力常量為G，不考慮其它天體的影響。
a.通常認(rèn)為，太陽(yáng)保持靜止不動(dòng)，行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)推導(dǎo)開(kāi)普勒第三定律中常量k的表達(dá)式：
b.實(shí)際上太陽(yáng)并非保持靜止不動(dòng)，如圖2所示，太陽(yáng)和行星繞二者連線上的O點(diǎn)做周期均為T₀的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。依照此模型，開(kāi)普勒第三定律形式上仍可表達(dá)為

L

3

T

2

0

=k′。請(qǐng)推導(dǎo)k′的表達(dá)式（用M_S、M_P、L、G和其它常數(shù)表示），并說(shuō)明k′≈k需滿足的條件。