研究原子核的結構時，需要用能量很高的粒子轟擊原子核。為了使帶電粒子獲得很高的能量，科學家發(fā)明了各種粒子加速器。圖1為某加速裝置的示意圖，它由多個橫截面積相同的金屬圓筒依次排列組成，其軸線在同一直線上，序號為奇數(shù)的圓筒與序號為偶數(shù)的圓筒分別和交變電源的兩極相連，交變電源兩極間的電勢差的變化規(guī)律如圖2所示。在t=0時，奇數(shù)圓筒相對偶數(shù)圓筒的電勢差為正值。此時和偶數(shù)圓筒相連的金屬圓板（序號為0）的中央有一電子，在圓板和圓筒1之間的電場中由靜止開始加速，沿中心軸線進入圓筒1。為使電子在圓筒之間的間隙都能被加速，圓筒長度的設計必須遵照一定的規(guī)律。

若電子的質量為m,電荷量為-e,交變電源的電壓為U，周期為T，兩圓筒間隙的電場可視為勻強電場，圓筒內場強均為0。不計電子的重力和相對論效應。
（1）求電子進入圓筒1時的速度v₁，并分析電子從圓板出發(fā)到離開圓筒2這個過程的運動；
（2）若忽略電子通過圓筒間隙的時間，則第n個金屬圓筒的長度L_n應該為多少？
（3）若電子通過圓筒間隙的時間不可忽略，且圓筒間隙的距離均為d,在保持圓筒長度、交變電壓的變化規(guī)律和（2）中相同的情況下，該裝置能夠讓電子獲得的最大速度是多少？