當(dāng)前位置： 2023-2024學(xué)年江蘇省常州市九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

小明學(xué)習(xí)了垂徑定理后，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．
（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多新的發(fā)現(xiàn)．如圖1，在⊙O中，C是
?
AB
的中點(diǎn)，直線CD⊥AB于點(diǎn)E，則可以得到AE=BE，請(qǐng)證明此結(jié)論．

（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，稱為該圓的一條折弦．如圖2，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)，若PA、PB是⊙O的折弦，C是
?
AB
的中點(diǎn)，CD⊥PA于點(diǎn)E．則AE=PE+PB．這就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何來(lái)證明這個(gè)結(jié)論呢？小明的證明思路是：在AE上截取AF=PB，連接CA、CF、PC、BC…請(qǐng)你按照小明的思路完成證明過(guò)程．
（3）如圖3，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，AB=2，點(diǎn)D是
?
AC
上的一點(diǎn)，∠ABD=45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，則△BDC的周長(zhǎng)為
2
2
+2
2
2
+2
．

【考點(diǎn)】圓的綜合題．

【答案】2

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/10/16 13:0:2組卷：227引用：1難度：0.3

相似題

1．如圖，四邊形ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形，AC⊥BD交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F，∠BAC=2∠CAD．
（1）求證：AB=AC；
（2）若
sin
F
=
3
4
，AB=8，求CF的長(zhǎng)；
（3）如圖2，連結(jié)OC交BD于H，若BH=4，DH=3，求三角形CDF的面積．
發(fā)布：2024/10/25 4:0:2組卷：210引用：1難度：0.3
解析
2．點(diǎn)A是半徑為2
3
的⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是⊙O外一定點(diǎn)，OB=6．連接OA，AB．
（1）【閱讀感知】如圖①，當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，連接OC，求OC的最大值；
將下列解答過(guò)程補(bǔ)充完整．
解：將線段OB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到O′B，連接OO′，CO′．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠OBO′=60°，BO′=BO=6，即△OBO′是等邊三角形．
∴OO′=BO=6
又∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABC=60°，AB=BC
∴∠OBO′=∠ABC=60°
∴∠OBA=∠O′BC
在△OBA和△O′BC中，
OB
=
O
′
B
∠
OBA
=∠
O
′
BC
AB
=
CB

∴
（SAS）
∴OA=O′C
在△OO′C中，OC＜OO′+O′C
當(dāng)O，O′，C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在OO′的延長(zhǎng)線上時(shí)，OC=OO′+O′C
即OC≤OO′+O′C
∴當(dāng)O，O′，C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在OO′的延長(zhǎng)線上時(shí)，OC取最大值，最大值是
．
（2）【類比探究】如圖②，當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，連接OC，求OC的最小值；
（3）【理解運(yùn)用】如圖③，當(dāng)△ABC是以AB為腰，頂角為120°的等腰三角形時(shí)，連接OC，求OC的最小值，并直接寫(xiě)出此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)．
發(fā)布：2024/11/4 8:0:2組卷：1516引用：1難度：0.1
解析
3．如圖，在等腰銳角三角形ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，延長(zhǎng)BD交△ABC的外接圓于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CE于F，AE，BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．
（1）判斷EA是否平分∠DEF，并說(shuō)明理由；
（2）求證：①BD=CF；
②BD²=DE²+AE?EG．
發(fā)布：2024/11/1 8:0:2組卷：1676引用：5難度：0.3
解析

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