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“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠流長．某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）
步驟1：設(shè)圓心是E，在圓內(nèi)異于圓心處取一點，標記為F；
步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點F；
步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；
步驟4：不斷重復步驟2和3，就能得到越來越多的折痕．則這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓．
現(xiàn)取半徑為
4
2
的圓形紙片，定點F到圓心E的距離為
2
6
，按上述方法折紙．以向量
FE
的方向為x軸正方向，線段EF中點為原點建立平面直角坐標系．
（1）求折痕圍成的橢圓Γ的標準方程；
（2）已知點M是圓x²+y²=10上任意一點，過點M作橢圓Γ的兩條切線，切點分別是A，B，求△MAB面積的最大值，并確定此時點M的坐標．
注：橢圓：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
上任意一點P（x₀，y₀）處的切線方程是：
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
．

【考點】橢圓的切線方程及性質(zhì)．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：117引用：6難度：0.5

相似題

1．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，若點M（x₀，y₀）在橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
上，則過點M的橢圓切線方程為
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
，現(xiàn)過點
P
（
t
,
0
）
（
|
t
|
＞
2
）
作橢圓
C
：
x
2
2
+
y
2
=
1
的切線，切點為Q，當△POQ（其中O為坐標原點）的面積為
1
2
時，t=
．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：56引用：1難度：0.5
解析
2．已知橢圓C的兩個頂點分別為A（-2，0），B（2，0），焦點在x軸上，離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點P（x₀，y₀）是橢圓上一點，求以點P為切點的橢圓的切線方程；
（Ⅲ）設(shè)點Q是直線l：x=5上一動點，過點Q作橢圓C的兩條切線QM，QN，切點分別為M，N，直線MN是否過定點？如果是，請求出定點坐標；如果不是，請說明理由．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：136引用：1難度：0.4
解析
3．關(guān)于橢圓的切線有下列結(jié)論：若P（x₁，y₁）是橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上的一點，則過點P的橢圓的切線方程為
x
1
x
a
2
+
y
1
y
b
2
=
1
．已知橢圓C：
x
2
4
+
y
2
3
=
1
，過橢圓C外一點M（x₀，y₀）作橢圓的兩條切線MA，MB（A，B為切點）．
（Ⅰ）利用上述結(jié)論，求直線AB的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的右焦點為F，求證：
|
MF
|
2
|
FA
|
|
FB
|
=
x
2
0
4
+
y
2
0
3
．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：248引用：1難度：0.3
解析

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