十八世紀偉大的數(shù)學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)（v），面數(shù)（f），棱數(shù)（e）之間存在一個有趣的數(shù)量關系：v+f-e=2，這就是著名的歐拉定理．而正多面體，是指多面體的各個面都是形狀大小完全相同的正多邊形，雖然多面體的家族很龐大，可是正多面體的成員卻僅有五種，它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，那今天就讓我們來了解下這幾個立體圖形中的“天之驕子”：

（1）如圖1，正四面體共有
4
4
個頂點，
6
6
條棱．
（2）如圖2，正六面體共有
8
8
個頂點，
12
12
條棱．
（3）如圖3是某個方向看到的正八面體的部分形狀（虛線被隱藏），正八面體每個面都是正三角形，每個頂點處有四條棱，那么它共有
6
6
個頂點，
12
12
條棱．
（4）當我們沒有正12面體的圖形時，我們可以根據(jù)計算了解它的形狀：
我們設正12面體每個面都是正n（n≥3）邊形，每個頂點處有m（m≥3）條棱，則共有12n÷2=6n條棱，有12n÷m=
12
n
m
個頂點．
歐拉定理得到方程：
12
n
m
+12-6n=2，且m,n均為正整數(shù)，
去掉分母后：12n+12m-6nm=2m,
將n看作常數(shù)移項：12m-6nm-2m=-12n,
合并同類項：（10-6n）m=-12n,
化系數(shù)為1：m=
-
12
n
10
-
6
n
=
12
n
6
n
-
10
，
變形：
m
=
12
n
6
n
-
10

=
12
n
-
20
+
20
6
n
-
10

=
12
n
-
20
6
n
-
10
+
20
6
n
-
10

=
2
（
6
n
-
10
）
6
n
-
10
+
20
6
n
-
10

=
2
+
20
6
n
-
10
．
分析：m（m≥3），n（n≥3）均為正整數(shù)，所以
20
6
n
-
10
是正整數(shù)，所以n=5，m=3，即6n=30，
12
n
m
=
20
．
因此正12面體每個面都是正五邊形，共有30條棱，20個頂點．
請依據(jù)上面的方法或者根據(jù)自己的思考得出：正20面體共有
30
30
條棱；
12
12
個頂點．

【答案】4；6；8；12；6；12；30；12

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/7/20 8:0:8組卷：254引用：3難度：0.5

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1．十八世紀瑞士數(shù)學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式．
請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

（1）根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格：

多面體頂點數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）

四面體 4 4

長方體 8 6 12

正八面體
8 12

正十二面體 20 12 30

（2）你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關系式是
．
（3）一個多面體的面數(shù)與頂點數(shù)相同，且有12條棱，則這個多面體的面數(shù)是
．

發(fā)布：2024/9/15 7:0:13組卷：356引用：6難度：0.6

發(fā)布：2024/9/15 8:0:8組卷：523引用：4難度：0.5

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