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勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．勾股定理內(nèi)容為：如果直角三角形的兩條直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2．
菁優(yōu)網(wǎng)（1）如圖2、3、4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的有
3
3
個；
（2）如圖5所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請判斷S1，S2，S3的關(guān)系并證明；
（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m,四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a,b,c,d,已知∠1=∠2=∠3=∠α，則當∠α變化時，回答下列問題：（結(jié)果可用含m的式子表示）
①a2+b2+c2+d2=
m2
m2
；
②b與c的關(guān)系為
b=c
b=c
，a與d的關(guān)系為
a+d=m
a+d=m
．

【考點】勾股定理的證明．
【答案】3；m2；b=c；a+d=m
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/4/24 14:0:35組卷：931引用：3難度：0.3
相似題

  • 菁優(yōu)網(wǎng)1．如圖所示的“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．該圖由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b.若ab=10，大正方形面積為25，則小正方形邊長為（　?。?/h2>

    發(fā)布：2024/11/1 11:30:2組卷：1204引用：7難度：0.5

  • 2．請閱讀下面文字并完成相關(guān)任務(wù)．
    勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”．在我國最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽．
    （1）如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以驗證勾股定理，思路是：大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即
    1
    2
    ab
    ×
    4
    +
    （
    b
    -
    a
    ）
    2
    ，從而得到等式c2=
    1
    2
    ab
    ×
    4
    +
    （
    b
    -
    a
    ）
    2
    ，化簡便得結(jié)論a2+b2=c2．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．現(xiàn)在，請你用“雙求法”解決下面問題：
    如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4，AC=5，BC=6，設(shè)BD=x,求x的值．
    菁優(yōu)網(wǎng)?
    （2）2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標和2021年在上海召開的國際數(shù)學(xué)教育大會會標，都包含了趙爽的弦圖．如圖3，如果大正方形的面積為18，直角三角形中較短直角邊長為a,較長直角邊長為b,且a2+b2=ab+10，那么小正方形的面積為
    ．
    （3）勾股定理本身及其驗證和應(yīng)用過程都體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想是
    ．
    A．函數(shù)思想
    B．整體思想
    C．分類討論思想
    D．數(shù)形結(jié)合思想

    發(fā)布：2024/10/19 8:0:2組卷：204引用：1難度：0.5

  • 3．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小明以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當兩個全等的直角三角形如圖①或圖②擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小明利用圖①證明勾股定理的過程：將兩個全等的直角三角形按圖①所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．
    菁優(yōu)網(wǎng)
    證明：連接DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b-a,FC=DE=b,
    ∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=
    1
    2
    b2+
    1
    2
    ab,
    S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=
    1
    2
    c2+
    1
    2
    a（b-a）
    ∴
    1
    2
    b2+
    1
    2
    ab=
    1
    2
    c2+
    1
    2
    a（b-a）
    ∴a2+b2=c2．
    請參照上述證法，利用圖②完成下面的證明：
    將兩個全等的直角三角形按圖②所示擺放，其中∠DAB=90°．求證：a2+b2=c2．

    發(fā)布：2024/10/20 7:0:2組卷：198引用：1難度：0.7
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