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橢圓的光學性質：光線從橢圓的一個焦點出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個焦點．現(xiàn)有一橢圓
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，長軸A₁A₂長為4，從一個焦點F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內壁上一點P反射之后恰好與x軸垂直，且
PF
=
5
2
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）點Q為直線x=4上一點，且Q不在x軸上，直線QA₁，QA₂與橢圓C的另外一個交點分別為M，N，設△QA₁A₂，△QMN的面積分別為S₁，S₂，求
S
1
S
2
的最大值．

【考點】直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征．

【答案】見試題解答內容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：43引用：2難度：0.5

相似題

1．歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線l′表示與橢圓C的切線垂直且過相應切點的直線，利用橢圓的光學性質解決以下問題：
如圖乙，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為F₁（-c,0），F(xiàn)₂（c,0）（c＞0），由F₁發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到F₁經(jīng)過的路程為
8
3
3
c
．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓在點P處的切線為l,F₂在l上的射影H在圓x²+y²=4上，求橢圓C的方程．
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：137引用：1難度：0.5
解析
2．已知橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F，上頂點為A．若存在直線l與橢圓交于不同的兩點B，C，△ABC的重心為F，則l的斜率的取值范圍是（　?。?/h2>
A．（-
2
，0） B．[-
3
2
，0） C．（-1，0） D．[-2，0）
發(fā)布：2024/11/1 22:30:2組卷：106引用：3難度：0.5
解析
3．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓C：
x
2
2
+
y
2
=1上，且直線OA，OB的斜率之積為-
1
2
，則x₁²-y₁²+x₂²-y₂²=（　?。?/h2>
A．1 B．3 C．2 D．
5
2
發(fā)布：2024/11/5 5:30:3組卷：192引用：2難度：0.7
解析

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2．已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點為F，上頂點為A．若存在直線l與橢圓交于不同的兩點B，C，△ABC的重心為F，則l的斜率的取值范圍是（ ?。?/h2>

3．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓C：x22+y2=1上，且直線OA，OB的斜率之積為-12，則x12-y12+x22-y22=（ ?。?/h2>

2．已知橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F，上頂點為A．若存在直線l與橢圓交于不同的兩點B，C，△ABC的重心為F，則l的斜率的取值范圍是（　?。?/h2>

3．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓C：
x
2
2
+
y
2
=1上，且直線OA，OB的斜率之積為-
1
2
，則x₁²-y₁²+x₂²-y₂²=（　?。?/h2>