當(dāng)前位置： 2023-2024學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市天心區(qū)明德中學(xué)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

已知M，N分別為橢圓
E
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左，右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，|FM|=3|FN|，且點(diǎn)
P
（
1
，
3
2
）
在橢圓E上．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)F的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且l與以MN為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)，證明：
12
|
AB
|
+
|
CD
|
2
4
為定值．

【考點(diǎn)】橢圓的焦點(diǎn)弦及焦半徑．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/7/19 8:0:9組卷：133引用：5難度：0.6

相似題

1．已知橢圓
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
?
b
＞
0
）
的離心率為
1
2
，左焦點(diǎn)F與原點(diǎn)O的距離為1．正方形PQMN的邊PQ，MN與x軸平行，邊PN，QM與y軸平行，
P
（
-
2
7
，
1
7
）
，
M
（
1
7
，-
2
7
）
．過(guò)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線為l.已知直線AB的斜率為k,且k＞0．
（1）若直線l過(guò)點(diǎn)P，求k的值；
（2）若直線l與正方形PQMN的交點(diǎn)在邊PN，QM上，l在正方形PQMN內(nèi)的線段長(zhǎng)度為s,求
s
|
AB
|
的取值范圍．
發(fā)布：2024/10/12 10:0:1組卷：175引用：5難度：0.1
解析
2．已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸，且過(guò)A（-2，0），
B
（
3
，-
3
2
）
兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）點(diǎn)F是橢圓E正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l與橢圓E相交于C，D兩點(diǎn)，過(guò)C作x軸的垂線交直線
y
=
9
5
5
于點(diǎn)P，試問(wèn)DP是否恒過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2024/10/4 3:0:1組卷：35引用：1難度：0.5
解析
3．已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，點(diǎn)F（2，0）是橢圓C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為
D
（
1
，
1
3
）
，則橢圓C的離心率e為（　　）
A．
2
3
B．
3
3
C．
6
3
D．
2
2
3
發(fā)布：2024/10/21 19:0:2組卷：112引用：1難度：0.5
解析

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3．已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），點(diǎn)F（2，0）是橢圓C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為D（1，13），則橢圓C的離心率e為（ ）