已知f（x）=alnx（a＞0）．
（1）求證：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）≤x-1；
（2）若對(duì)于?x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立．
①求a的最大值；
②當(dāng)a取最大值時(shí)，若函數(shù)
H
（
x
）
=
e
+
1
2
x
2
-
2
xf
（
x
）
，求證：對(duì)于?x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁≠x₂），恒有
H
（
x
1
）
-
H
（
x
2
）
x
1
-
x
2
＞
-
e
（e為自然對(duì)數(shù)的底）．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/6/12 8:0:8組卷：123引用：3難度：0.1

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1．已知函數(shù)f（x）=lnx-2x.
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若
g
（
x
）
=
1
2
m
x
2
+
（
m
-
3
）
x
-
1
（
m
∈
R
）
，是否存在整數(shù)m使f（x）≤g（x）對(duì)任意x∈（0，+∞）成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
發(fā)布：2024/11/1 8:0:2組卷：26引用：1難度：0.5
解析
2．已知函數(shù)f（x）=ln（ax-1）+alnx的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=4x+b.
（1）求a,b的值．
（2）當(dāng)k≥4時(shí)，證明：f（x）＜k（x-1）對(duì)x∈（1，+∞）恒成立．
發(fā)布：2024/11/2 6:30:2組卷：160引用：6難度：0.5
解析
3．已知-1≤a≤1，函數(shù)
f
（
x
）
=
e
x
-
1
2
x²-asinx-1，g（x）=f（x）+f（-x）．
（Ⅰ）討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）設(shè)f′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)．證明：
（?。ゝ（x）在R上單調(diào)遞增；
（ⅱ）當(dāng)x∈[
-
π
3
，
π
3
]時(shí)，若|f′（x）|≤M，則|f（x）|≤M．
發(fā)布：2024/11/1 9:30:2組卷：92引用：3難度：0.4
解析

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2．已知函數(shù)f（x）=ln（ax-1）+alnx的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=4x+b.（1）求a,b的值．（2）當(dāng)k≥4時(shí)，證明：f（x）＜k（x-1）對(duì)x∈（1，+∞）恒成立．