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法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日創(chuàng)立的《畫法幾何學(xué)》對(duì)世界各國科學(xué)技術(shù)的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．在雙曲線
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)的平方差的算術(shù)平方根，這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A．已知雙曲線C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的實(shí)軸長(zhǎng)為6，其蒙日?qǐng)A方程為x2+y2=1．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)D為雙曲線C的左頂點(diǎn)，直線l與雙曲線C交于不同于D的E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，且DG⊥EF于G，證明：存在定點(diǎn)H，使|GH|為定值．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/7/16 8:0:9組卷：155引用：7難度：0.4
相似題

  • 1．已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為
    （
    2
    5
    ，
    0
    ）
    ，離心率為
    5
    ．
    （1）求C的方程；
    （2）記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在定直線x=-1上運(yùn)動(dòng)，直線PA1與PA2雙曲線分別交于M，N兩點(diǎn)，證明：直線MN恒過定點(diǎn)．

    發(fā)布：2024/10/25 5:0:2組卷：92引用：1難度：0.2

  • 菁優(yōu)網(wǎng)2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知等軸雙曲線E：
    x
    2
    a
    2
    -
    y
    2
    b
    2
    =
    1
    （a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)A，過右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與E交于B，C兩點(diǎn)，若△ABC的面積為
    2
    +
    1
    ．
    （1）求雙曲線E的方程；
    （2）若直線l：y=kx-1與雙曲線E的左，右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與雙曲線E的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，求
    |
    MN
    |
    |
    PQ
    |
    的取值范圍．

    發(fā)布：2024/10/31 12:30:1組卷：462引用：9難度：0.5

  • 3．已知雙曲線
    x
    2
    4
    -
    y
    2
    2
    =
    1
    ，
    （1）過點(diǎn)M（1，1）的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若M為弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程；
    （2）是否存在直線l,使得
    （
    1
    ，
    1
    2
    ）
    為l被該雙曲線所截弦的中點(diǎn)，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

    發(fā)布：2024/10/23 3:0:1組卷：18引用：1難度：0.6
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