當前位置： 2010年初三奧賽培訓03：點共線、線共點> 試題詳情

設P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB上的點．若
BP
PC
?
CQ
QA
?
AR
RB
=
1
，證明：AP，BQ，CR交于一點．

【考點】梅涅勞斯定理與塞瓦定理．

【答案】見試題解答內容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：398引用：1難度：0.5

相似題

1．設A₁，B₁，C₁是直線l₁上的任意三點，A₂，B₂，C₂是另一條直線l₂上的任意三點，A₁B₂和B₁A₂交于L，A₁C₂和A₂C₁交于M，B₁C₂和B₂C₁交于N．求證：L，M，N三點共線．
發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：246引用：1難度：0.1
解析
2．如圖，△ABC的垂心為H，AD⊥BC于D，點E在△ABC的外接圓上，且滿足
BE
CE
=
AB
AC
，直線ED交外接圓于點M．求證：∠AMH=90°．
發(fā)布：2024/9/11 2:0:8組卷：1030引用：1難度：0.1
解析
3．梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內容是：如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有
AF
FB
?
BD
DC
?
CE
EA
=1．
下面是利用相似三角形的有關知識證明該定理的部分過程：
證明：如圖（2），過點A作AG∥BC，交DF的延長線于點G，則有
AF
FB
=
AG
BD
，
CE
EA
=
CD
AG
，
∴
AF
FB
?
BD
DC
?
CE
EA
=
AG
BD
?
BD
DC
?
CD
AG
=1．
請用上述定理的證明方法解決以下問題：
（1）如圖（3），△ABC三邊CB，AB，AC的延長線分別交直線l于X，Y，Z三點，證明：
BX
XC
?
CZ
ZA
?
AY
YB
=1，請用上述定理的證明方法或結論解決以下問題：
（2）如圖（4），等邊△ABC的邊長為3，點D為BC的中點，點F在AB上，且BF=2AF，CF與AD交于點E，試求AE的長．
（3）如圖（5），△ABC的面積為4，F(xiàn)為AB中點，延長BC至D，使CD=BC，連接FD交AC于E，求四邊形BCEF的面積．
發(fā)布：2024/10/1 11:0:2組卷：631引用：1難度：0.2
解析

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設P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB上的點．若BPPC?CQQA?ARRB=1，證明：AP，BQ，CR交于一點．

1．設A1，B1，C1是直線l1上的任意三點，A2，B2，C2是另一條直線l2上的任意三點，A1B2和B1A2交于L，A1C2和A2C1交于M，B1C2和B2C1交于N．求證：L，M，N三點共線．

2．如圖，△ABC的垂心為H，AD⊥BC于D，點E在△ABC的外接圓上，且滿足BECE=ABAC，直線ED交外接圓于點M．求證：∠AMH=90°．

設P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB上的點．若
BP
PC
?
CQ
QA
?
AR
RB
=
1
，證明：AP，BQ，CR交于一點．

1．設A₁，B₁，C₁是直線l₁上的任意三點，A₂，B₂，C₂是另一條直線l₂上的任意三點，A₁B₂和B₁A₂交于L，A₁C₂和A₂C₁交于M，B₁C₂和B₂C₁交于N．求證：L，M，N三點共線．

2．如圖，△ABC的垂心為H，AD⊥BC于D，點E在△ABC的外接圓上，且滿足
BE
CE
=
AB
AC
，直線ED交外接圓于點M．求證：∠AMH=90°．