2022-2023學(xué)年北京171中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

• 1．直線x+

  3

  y-2=0的傾斜角為（　?。?/h2>

  A． π 6

  B． π 4

  C． π 3

  D． 5 π 6
  組卷：434引用：33難度：0.8

  解析

• 2．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，AD=1，E為CC₁的中點，則異面直線BC₁與AE所成角的余弦值為（　?。?/h2>

  A． 10 10

  B． 30 10

  C． 2 15 10

  D． 3 10 10
  組卷：256引用：53難度：0.9

  解析

• 3．過直線l₁：2x+y-3=0與l₂：x-3y+2=0的交點，并與l₁垂直的直線的方程為（　?。?/h2>

  A．x-2y-1=0

  B．x-2y+1=0

  C．x+2y-1=0

  D．x+2y+1=0
  組卷：517引用：3難度：0.7

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• 4．如圖所示，在四面體O-ABC中，

  OA

  =

  a

  ，

  OB

  =

  b

  ，

  OC

  =

  c

  ，點M在OA上，且

  OM

  =2

  MA

  ，N為BC的中點，則

  MN

  =（　　）

  A． 1 2 a - 2 3 b + 1 2 c	B．- 2 3 a + 1 2 b + 1 2 c
  C． 1 2 a + 1 2 b - 2 3 c	D． 2 3 a + 2 3 b - 1 2 c
  組卷：1212引用：38難度：0.9

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• 5．圓x²+y²-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1，則a=（　?。?/h2>

  A．- 4 3

  B．- 3 4

  C． 3

  D．2
  組卷：9297引用：83難度：0.7

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• 6．已知三角形的三個頂點A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），則BC邊上的中線所在直線的方程為（　?。?/h2>

  A．5x+3y-6=0

  B．3x-5y+15=0

  C．x+13y+5=0

  D．3x+8y+15=0
  組卷：360引用：4難度：0.7

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• 7．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=

  2

  ，∠BAA₁=∠DAA₁=45°，∠BAD=60°，則|

  A

  C

  1

  |=（　?。?/h2>

  A．3

  B． 3

  C．9

  D．1
  組卷：538引用：4難度：0.6

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三、解答題（共5小題，滿分0分）

• 22．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F(xiàn)分別是AB，A₁C的中點，AD=AA₁=2，

  AB

  =

  2

  ．
  （1）求二面角F-DE-C的余弦值；
  （2）在線段A₁D₁上是否存在點M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出

  A

  1

  M

  A

  1

  D

  1

  的值；若不存在，請說明理由．
  組卷：46引用：2難度：0.5

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• 23．《瀑布》（圖1）是埃舍爾最為人所知的作品之一，圖中的瀑布會源源不斷地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至極，但又會讓你百看不膩．畫面下方還有一位饒有興致的觀察者，似乎他沒發(fā)現(xiàn)什么不對勁．此時，他既是畫外的觀看者，也是埃舍爾自己．畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”由三個正方體構(gòu)成，右塔上的幾何體是首次出現(xiàn)，后稱“埃舍爾多面體”（圖2）
  
  埃舍爾多面體可以用兩兩垂直且中心重合的三個正方形構(gòu)造，設(shè)邊長均為2，定義正方形A_nB_nC_nD_n，n=1，2，3的頂點為“框架點”，定義兩正方形交線為“極軸”，其端點為“極點”，記為P_n，Q_n，將極點P₁，Q₁，分別與正方形A₂B₂C₂D₂的頂點連線，取其中點記為E_m，F(xiàn)_m，m=1，2，3，4，如（圖3）．埃舍爾多面體可視部分是由12個四棱錐構(gòu)成，這些四棱錐頂點均為“框架點”，底面四邊形由兩個“極點”與兩個“中點”構(gòu)成，為了便于理解，圖4我們構(gòu)造了其中兩個四棱錐A₁-P₁E₁P₂E₂與A₂-P₂E₁P₃F₁．
  （1）求異面直線P₁A₂與Q₁B₂成角余弦值；
  （2）求平面P₁A₁E₁與平面A₁E₂P₂的夾角余弦值；
  （3）若埃舍爾體的表面積與體積．（直接寫出答案）
  組卷：40引用：1難度：0.4

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