2022-2023學(xué)年湖南省長沙一中高一（下）第一次段考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

• 1．已知集合A={x|x²+x-6＞0}，B={x|0＜x＜6}，則（?_RA）∩B=（　?。?/h2>

  A．[-3，2]

  B．（0，2]

  C．[0，2）

  D．（-2，6）
  組卷：178引用：3難度：0.8

  解析

• 2．已知

  sinα

  =

  3

  5

  ，則

  cos

  （

  α

  -

  7

  π

  2

  ）

  =（　?。?/h2>

  A． 3 5

  B． - 3 5

  C． 4 5

  D． - 4 5
  組卷：228引用：2難度：0.8

  解析

• 3．下列四個(gè)函數(shù)中，以π為最小周期，且在區(qū)間

  （

  π

  2

  ，

  π

  ）

  上單調(diào)遞減的是（　?。?/h2>

  A．y=|sinx|

  B．y=cosx

  C．y=tanx

  D． y = cos x 2
  組卷：94引用：1難度：0.6

  解析

• 4．函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  +

  cosx

  （

  x

  ∈

  （

  π

  3

  ，

  4

  π

  ）

  ）

  的圖象與直線y=t（t為常數(shù)）的交點(diǎn)最多有（　?。?/h2>

  A．1個(gè)

  B．2個(gè)

  C．3個(gè)

  D．4個(gè)
  組卷：60引用：2難度：0.7

  解析

• 5．已知向量

  a

  、

  b

  不共線，且

  c

  =

  x

  a

  +

  b

  ，

  d

  =

  a

  +

  （

  2

  x

  -

  1

  ）

  b

  ，若

  c

  與

  d

  共線，則實(shí)數(shù)x的值為（　?。?/h2>

  A．1

  B． - 1 2

  C．1或 - 1 2

  D．-1或 - 1 2
  組卷：463引用：10難度：0.7

  解析

• 6．下列命題：①若

  |

  a

  |

  =

  |

  b

  |

  ，則

  a

  =

  b

  ；
  ②若

  a

  =

  b

  ，

  b

  =

  c

  ，則

  a

  =

  c

  ；
  ③

  a

  =

  b

  的充要條件是

  |

  a

  |

  =

  |

  b

  |

  且

  a

  ∥

  b

  ；
  ④若

  a

  ∥

  b

  ，

  b

  ∥

  c

  ，則

  a

  ∥

  c

  ；
  ⑤若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，則

  AB

  =

  DC

  是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件．
  其中，真命題的個(gè)數(shù)是（　?。?/h2>

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  組卷：717引用：5難度：0.7

  解析

• 7．如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為

  1

  ，

  AB

  =

  a

  ，

  BC

  =

  b

  ，

  AC

  =

  c

  ，則向量

  a

  -

  b

  -

  c

  的模為（　?。?/h2>

  A． 2

  B．2

  C． 2 2

  D．4
  組卷：100引用：2難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．求解下列問題：
  （1）求證：

  sin

  2

  α

  =

  2

  tanα

  1

  +

  ta

  n

  2

  α

  ，

  cos

  2

  α

  =

  1

  -

  ta

  n

  2

  α

  1

  +

  ta

  n

  2

  α

  ；
  （2）已知

  α

  ∈

  （

  π

  ，

  3

  π

  2

  ）

  ，

  cosα

  =

  -

  5

  13

  ，

  tan

  β

  2

  =

  1

  2

  ，求

  cos

  （

  α

  2

  +

  β

  ）

  ．
  組卷：137引用：2難度：0.5

  解析

• 22．懸鏈線（Catenary）指的是一種曲線，指兩端固定的一條（粗細(xì)與質(zhì)量分布）均勻，柔軟（不能伸長）的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，適當(dāng)選擇坐標(biāo)系后，懸鏈線的方程是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)，其解析式為

  f

  （

  x

  ）

  =

  e

  x

  +

  e

  -

  x

  2

  ，與之對應(yīng)的函數(shù)

  g

  （

  x

  ）

  =

  e

  x

  -

  e

  -

  x

  2

  稱為雙曲正弦函數(shù)，令

  F

  （

  x

  ）

  =

  g

  （

  x

  ）

  f

  （

  x

  ）

  ．
  （1）若關(guān)于x的方程F[f（2x）]+F[2λg（x）-5]=0在（0，ln3）上有解，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
  （2）把區(qū)間（0，2）等分成2n（n∈N^*）份，記等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為x_i，i=1、2、3、?、2n-1（n∈N^*），設(shè)

  h

  （

  x

  ）

  =

  4

  3

  -

  2

  2

  x

  -

  1

  +

  1

  ，記

  H

  （

  x

  ）

  =

  h

  （

  x

  1

  ）

  +

  h

  （

  x

  2

  ）

  +

  h

  （

  x

  3

  ）

  +

  ?

  +

  h

  （

  x

  2

  n

  -

  1

  ）

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  ，是否存在正整數(shù)n,使不等式

  F

  （

  2

  x

  ）

  F

  （

  x

  ）

  ≥

  H

  （

  n

  ）

  有解？若存在，求出所有n的值，若不存在，說明理由．
  組卷：30引用：2難度：0.4

  解析