人教五四新版九年級(jí)（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數(shù)（28）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與直線y=

  1

  2

  x+2交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，

  7

  2

  ）．點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說明理由．
  （3）若存在點(diǎn)P，使∠PCF=45°，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
  
  組卷：4817引用：71難度：0.5

  解析

• 2．如圖，在直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t,
  ①設(shè)拋物線對(duì)稱軸l與x軸交于一點(diǎn)E，連接PE，交CD于F，求出當(dāng)△CEF與△COD相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
  ②是否存在一點(diǎn)P，使△PCD的面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  
  組卷：2001引用：71難度：0.5

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• 3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物線為y=-x²+bx+c.點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作CD⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)E．
  （1）求拋物線的解析式．
  （2）當(dāng)DE=4時(shí)，求四邊形CAEB的面積．
  （3）連接BE，是否存在點(diǎn)D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
  組卷：2164引用：66難度：0.5

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• 4．如圖，已知一次函數(shù)y=0.5x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交于y軸上的一點(diǎn)B，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC=2．
  （1）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式；
  （2）設(shè)一次函數(shù)y=0.5x+2的圖象與二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的另一交點(diǎn)為D，已知P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△PBD為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
  組卷：1116引用：60難度：0.5

  解析

• 5．如圖，拋物線y=

  1

  2

  x²+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，-4），與x軸交于點(diǎn)A，B，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．
  （1）求該拋物線的解析式．
  （2）若點(diǎn)P是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，求△PCE面積的最大值．
  （3）若點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上一點(diǎn)，且△OMD為等腰三角形，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．
  組卷：2212引用：67難度：0.5

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• 6．如圖，拋物線y=-（x-1）²+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，已知A（-1，0）．
  （1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；
  （2）判斷△CDB的形狀并說明理由；
  （3）將△COB沿x軸向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE與△CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．
  
  組卷：2182引用：65難度：0.5

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• 7．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），對(duì)稱軸為直線x=-2．
  （1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
  （2）點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線上的另一點(diǎn)．已知以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9．求此拋物線的解析式，并指出頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
  （3）點(diǎn)P是（2）中拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，且以1個(gè)單位/秒的速度從此拋物線的頂點(diǎn)E向上運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
  ①當(dāng)t為

   

  秒時(shí)，△PAD的周長(zhǎng)最小？當(dāng)t為

   

  秒時(shí)，△PAD是以AD為腰的等腰三角形？（結(jié)果保留根號(hào)）
  ②點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在一點(diǎn)P，使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：725引用：59難度：0.5

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• 8．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3），點(diǎn)D在x軸正半軸上，且OD=OC．
  （1）求直線CD的解析式；
  （2）求拋物線的解析式；
  （3）將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，求證：△CEQ∽△CDO；
  （4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn)，問：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過程中，△PCF的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：1005引用：60難度：0.5

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• 9．如圖，拋物線y=ax²+b與x軸交于點(diǎn)A、B，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，1）．
  （1）求拋物線的解析式，并求出點(diǎn)B坐標(biāo)；
  （2）過點(diǎn)B作BD∥CA交拋物線于點(diǎn)D，連接BC、CA、AD，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）
  （3）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE垂直于x軸，垂足為點(diǎn)E，使以B、P、E為頂點(diǎn)的三角形與△CBD相似？若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：874引用：58難度：0.5

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• 10．如圖，已知拋物線y=

  1

  2

  x²+bx+c（b,c是常數(shù)，且c＜0）與x軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
  （1）b=

   

  ，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為

   

  （上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；
  （2）連接BC，過點(diǎn)A作直線AE∥BC，與拋物線y=

  1

  2

  x²+bx+c交于點(diǎn)E，點(diǎn)D是x軸上的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，0）．當(dāng)C，D，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求拋物線的解析式；
  （3）在（2）條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，設(shè)所得△PBC的面積為S．
  ①求S的取值范圍；
  ②若△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC共有

   

  個(gè)．
  組卷：1772引用：63難度：0.5

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一、解答題（共30小題）

• 29．如圖，已知拋物線y=-

  1

  4

  x²+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-2，0）．
  （1）求拋物線的解析式及它的對(duì)稱軸方程；
  （2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；
  （3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；
  （4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：705引用：57難度：0.5

  解析

• 30．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-

  3

  ），已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過三點(diǎn)A、B、O（O為原點(diǎn)）．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）在該拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
  （3）如果點(diǎn)P是該拋物線上x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由．（注意：本題中的結(jié)果均保留根號(hào)）
  組卷：702引用：58難度：0.5

  解析