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2023-2024學年江蘇省常州市金壇區(qū)高二（上）期中數(shù)學試卷

發(fā)布：2024/10/18 17:0:4

一、單選題。本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．在平面直角坐標系xOy中，直線
3
x+y-1=0的傾斜角為（　　）
A．
π
6
B．
π
3
C．
2
π
3
D．
5
π
6
組卷：48引用：3難度：0.9
解析
2．若方程mx²+（1-m）y²=1表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為（　　）
A．m＜0 B．m＞1 C．0＜m＜1 D．m＜1且m≠0
組卷：65引用：2難度：0.7
解析
3．某學習小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m,深度為0.6m,則該拋物線的焦點到頂點的距離為（　?。?/h2>
A．1.35m B．2.05m C．2.7m D．5.4m
組卷：235引用：15難度：0.8
解析
4．已知A（2，0），B（2，3），直線l過定點P（1，2），且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（　　）
A．-2≤k≤1 B．
-
1
2
≤
k
≤
1
C．k≠1 D．k≤-2或k≥1
組卷：252引用：4難度：0.7
解析
5．17世紀法國數(shù)學家費馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程a²-x²=ky²（k＞0，k≠1，a≠0）表示橢圓，費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)：若從橢圓上任意一點P向長軸AB（異于A，B兩點）引垂線，垂足為Q，則
P
Q
2
AQ
?
BQ
為常數(shù)．據(jù)此推斷，此常數(shù)的值為（　?。?/h2>
A．橢圓的離心率
B．橢圓離心率的平方
C．短軸長與長軸長的比
D．短軸長與長軸長比的平方
組卷：214引用：10難度：0.7
解析
6．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上有點A，它關(guān)于原點的對稱點為B，點F為橢圓的右焦點，且AF⊥BF，∠ABF=
π
12
，則橢圓的離心率為（　?。?/h2>
A．
1
2
B．
6
3
C．
3
3
D．
2
2
組卷：201引用：4難度：0.6
解析
7．若方程
x
+
b
=
3
-
4
x
-
x
2
有兩個不等的實根，則實數(shù)b的取值范圍為（　　）
A．
（
1
-
2
2
，
1
+
2
2
）
B．
（
1
-
2
2
，-
1
]
C．
[
-
1
，
1
+
2
2
）
D．
（
1
-
2
2
，
3
]
組卷：199引用：6難度：0.6
解析

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四、解答題。本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

21．在直角坐標系xOy中，直線y=-2x是雙曲線
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的一條漸近線，點
A
（
2
，
2
）
在雙曲線C上，設(shè)M（m,n）（n≠0）為雙曲線上的動點，直線AM與y軸相交于點P，點M關(guān)于y軸的對稱點為N，直線AN與y軸相交于點Q．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）在x軸上是否存在一點T，使得
|
TP
+
TQ
|
=
|
PQ
|
，若存在，求T點的坐標；若不存在，說明理由；
（3）求M點的坐標，使得△MPQ的面積最?。?/h2>
組卷：44引用：2難度：0.5
解析
22．如圖，已知點F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：
x
2
4
+
y
2
3
=1的左右焦點，A，B是橢圓C上不同的兩點，且
F
1
A
=λ
F
2
B
（λ＞0），連接AF₂，BF₁且AF₂，BF₁交于點Q．
（1）當λ=2時，求點B的橫坐標；
（2）若△ABQ的面積為
1
2
，試比較λ+
1
λ
與2的大小，說明理由．
組卷：30引用：2難度：0.5
解析