華師大新版九年級（下）中考題單元試卷：第26章 二次函數(shù)（18）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D和點C關于拋物線的對稱軸對稱，直線AD與y軸交于點E．
  
  （1）求直線AD的解析式；
  （2）如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點F，過點F作FG⊥AD于點G，作FH平行于x軸交直線AD于點H，求△FGH周長的最大值；
  （3）點M是拋物線的頂點，點P是y軸上一點，點Q是坐標平面內(nèi)一點，以A，M，P，Q為頂點的四邊形是以AM為邊的矩形．若點T和點Q關于AM所在直線對稱，求點T的坐標．
  組卷：4996引用：52難度：0.5

  解析

• 2．如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，B為半圓上一點，連接AB并延長至C，使BC=AB，過C作CD⊥x軸于點D，交線段OB于點E，已知CD=8，拋物線經(jīng)過O、E、A三點．
  （1）∠OBA=

  °．
  （2）求拋物線的函數(shù)表達式．
  （3）若P為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個動點，以P、O、A、E為頂點的四邊形面積記作S，則S取何值時，相應的點P有且只有3個？
  組卷：2315引用：52難度：0.5

  解析

• 3．如圖①，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與二次函數(shù)y=x²的圖象相交于A，B兩點，點A，B的橫坐標分別為m,n（m＜0，n＞0）．
  （1）當m=-1，n=4時，k=

  ，b=

  ；
  當m=-2，n=3時，k=

  ，b=

  ；
  （2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，用含m,n的代數(shù)式分別表示k與b,并證明你的結(jié)論；
  （3）利用（2）中的結(jié)論，解答下列問題：
  如圖②，直線AB與x軸，y軸分別交于點C，D，點A關于y軸的對稱點為點E，連接AO，OE，ED．
  ①當m=-3，n＞3時，求

  S

  △

  ACO

  S

  四邊形

  AOED

  的值（用含n的代數(shù)式表示）；
  ②當四邊形AOED為菱形時，m與n滿足的關系式為

  ；
  當四邊形AOED為正方形時，m=

  ，n=

  ．
  
  組卷：1887引用：50難度：0.5

  解析

• 4．拋物線y=

  1

  4

  x²-

  3

  2

  x+2與x軸交于A，B兩點（OA＜OB），與y軸交于點C．
  （1）求點A，B，C的坐標；
  （2）點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時點E也從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C運動，設點P的運動時間為t秒（0＜t＜2）．
  ①過點E作x軸的平行線，與BC相交于點D（如圖所示），當t為何值時，

  1

  OP

  +

  1

  ED

  的值最小，求出這個最小值并寫出此時點E，P的坐標；
  ②在滿足①的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使△EFP為直角三角形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：2335引用：53難度：0.5

  解析

• 5．如圖，一小球從斜坡O點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=-x²+4x刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=

  1

  2

  x刻畫．
  （1）請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標；
  （2）小球的落點是A，求點A的坐標；
  （3）連接拋物線的最高點P與點O、A得△POA，求△POA的面積；
  （4）在OA上方的拋物線上存在一點M（M與P不重合），△MOA的面積等于△POA的面積．請直接寫出點M的坐標．
  組卷：3285引用：64難度：0.5

  解析

• 6．在平面直角坐標系中，已知y=-

  1

  2

  x²+bx+c（b、c為常數(shù)）的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，-1），點C的坐標為（4，3），直角頂點B在第四象限．
  （1）如圖，若拋物線經(jīng)過A、B兩點，求拋物線的解析式．
  （2）平移（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上并沿AC方向滑動距離為

  2

  時，試證明：平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點．
  （3）在（2）的情況下，若沿AC方向任意滑動時，設拋物線與直線AC的另一交點為Q，取BC的中點N，試探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：1984引用：51難度：0.5

  解析

• 7．如圖，已知拋物線y=-

  1

  2

  x²+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，8）、B（8，0）和點E，動點C從原點O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動，動點D從點B開始沿BO方向以每秒1個單位長度移動，動點C、D同時出發(fā)，當動點D到達原點O時，點C、D停止運動．
  （1）直接寫出拋物線的解析式：

  ；
  （2）求△CED的面積S與D點運動時間t的函數(shù)解析式；當t為何值時，△CED的面積最大？最大面積是多少？
  （3）當△CED的面積最大時，在拋物線上是否存在點P（點E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：4257引用：61難度：0.5

  解析

• 8．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點D的坐標為（1，-

  9

  2

  ），且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，A點的坐標為（4，0）．P點是拋物線上的一個動點，且橫坐標為m.
  （1）求拋物線所對應的二次函數(shù)的表達式；
  （2）若動點P滿足∠PAO不大于45°，求P點的橫坐標m的取值范圍；
  （3）當P點的橫坐標m＜0時，過P點作y軸的垂線PQ，垂足為Q．問：是否存在P點，使∠QPO=∠BCO？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：2177引用：51難度：0.5

  解析

• 9．已知：拋物線y=x²+（2m-1）x+m²-1經(jīng)過坐標原點，且當x＜0時，y隨x的增大而減?。?br />（1）求拋物線的解析式，并寫出y＜0時，對應x的取值范圍；
  （2）設點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于點B，DC⊥x軸于點C．
  ①當BC=1時，直接寫出矩形ABCD的周長；
  ②設動點A的坐標為（a,b），將矩形ABCD的周長L表示為a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍，判斷周長是否存在最大值？如果存在，求出這個最大值，并求出此時點A的坐標；如果不存在，請說明理由．
  組卷：1615引用：53難度：0.5

  解析

• 10．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-2，0），B（4，0），C（0，3）三點．
  （1）求該拋物線的解析式；
  （2）在y軸上是否存在點M，使△ACM為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的點M的坐標；若不存在，請說明理由；
  （3）若點P（t,0）為線段AB上一動點（不與A，B重合），過P作y軸的平行線，記該直線右側(cè)與△ABC圍成的圖形面積為S，試確定S與t的函數(shù)關系式．
  組卷：2577引用：52難度：0.5

  解析

一、解答題（共30小題）

• 29．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-

  2

  3

  x²-

  4

  3

  x+2與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），與y軸交于點A，拋物線的頂點為D．
  （1）填空：點A的坐標為（

   

  ，

   

  ），點B的坐標為（

   

  ，

   

  ），點C的坐標為（

   

  ，

   

  ），點D的坐標為（

   

  ，

   

  ）；
  （2）點P是線段BC上的動點（點P不與點B、C重合）
  ①過點P作x軸的垂線交拋物線于點E，若PE=PC，求點E的坐標；
  ②在①的條件下，點F是坐標軸上的點，且點F到EA和ED的距離相等，請直接寫出線段EF的長；
  ③若點Q是線段AB上的動點（點Q不與點A、B重合），點R是線段AC上的動點（點R不與點A、C重合），請直接寫出△PQR周長的最小值．
  
  組卷：3033引用：50難度：0.5

  解析

• 30．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+

  3

  2

  x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），連接AB、AC．
  （1）請直接寫出二次函數(shù)y=ax²+

  3

  2

  x+c的表達式；
  （2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
  （3）若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點N的坐標；
  （4）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的坐標．
  
  組卷：4825引用：62難度：0.5

  解析