2022-2023學(xué)年福建省廈門一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

• 1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=

  2

  +

  i

  2

  -

  i

  ，則復(fù)數(shù)z的模為（　?。?/h2>

  A．2

  B． 5

  C．1

  D． 2
  組卷：153引用：3難度：0.9

  解析

• 2．已知平面向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  m

  ）

  ，

  b

  =

  （

  n

  ,

  2

  ）

  ，

  c

  =

  （

  3

  ，

  6

  ）

  ，若

  a

  ∥

  c

  ，

  b

  ⊥

  c

  ，則實(shí)數(shù)m與n的和為（　?。?/h2>

  A．6

  B．-6

  C．2

  D．-2
  組卷：100引用：2難度：0.8

  解析

• 3．已知圓錐PO，其軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊長為6m,頂角為

  2

  π

  3

  的等腰三角形，該圓錐的側(cè)面積為（　?。?/h2>

  A．6πm2

  B． 6 3 π m 2

  C． 3 3 π m 2

  D． 12 3 π m 2
  組卷：100引用：3難度：0.8

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• 4．中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的第一章“方田”中載有“半周半徑相乘得積步”，其大意為：圓的帳周長乘以其半徑等于圓面積．南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之曾用圓內(nèi)接正多邊形的面積“替代”圓的面積，并通過增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n使得正多邊形的面積更接近圓的面積，從而更為“精確”地估計(jì)圓周率π．據(jù)此，當(dāng)n足夠大時(shí)，可以得到π與n的關(guān)系為（　?。?/h2>

  A． π ≈ n 2 sin 360 ° n	B． π ≈ nsin 180 ° n
  C． π ≈ n 2 （ 1 - cos 360 ° n ）	D． π ≈ n 2 1 - cos 180 ° n
  組卷：240引用：4難度：0.8

  解析

• 5．在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面積為

  3

  ，則

  a

  sin

  A

  為（　?。?/h2>

  A． 8 3 81

  B． 2 39 3

  C． 26 3 3

  D． 2 7
  組卷：91引用：1難度：0.6

  解析

• 6．已知m,n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（　?。?/h2>

  A．若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥n

  B．若m∥α，m∥β，α∩β=n,則m∥n

  C．若n∥α，n∥β，則α∥β

  D．若m∥n,n?α，則m∥α
  組卷：115引用：7難度：0.7

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• 7．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，棱柱的側(cè)面均為矩形，AA₁=1，

  AB

  =

  BC

  =

  3

  ，

  cos

  ∠

  ABC

  =

  1

  3

  ，P是A₁B上的一動(dòng)點(diǎn)，則AP+PC₁的最小值為（　?。?br />

  A． 3

  B．2

  C． 5

  D． 7
  組卷：192引用：7難度：0.5

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四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=2，

  PA

  =

  PB

  =

  2

  ．M是棱PD上的點(diǎn)，O是棱AB的中點(diǎn)，PO為四棱錐P-ABCD的高，且四面體MPBC的體積為

  3

  6

  ．
  （1）證明：PM=MD；
  （2）若過點(diǎn)C，M的平面α與BD平行，且交PA于點(diǎn)Q，求多面體DMC-AQB體積．
  組卷：105引用：1難度：0.3

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• 22．如圖1，某景區(qū)是一個(gè)以C為圓心，半徑為3km的圓形區(qū)域，道路l₁，l₂成60°角，且均和景區(qū)邊界相切，現(xiàn)要修一條與景區(qū)相切的觀光木棧道AB，點(diǎn)A，B分別在l₁和l₂上，修建的木棧道AB與道路l₁，l₂圍成三角地塊OAB．（注：圓的切線長性質(zhì)：圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長相等）．
  
  （1）當(dāng)△OAB為正三角形時(shí)求修建的木棧道AB與道路l₁，l₂圍成的三角地塊OAB面積；
  （2）若△OAB的面積

  S

  =

  10

  3

  ，求木棧道AB長；
  （3）如圖2，設(shè)∠CAB=α，
  ①將木棧道AB的長度表示為α的函數(shù)，并指定定義域；
  ②求木棧道AB的最小值．
  組卷：47引用：3難度：0.5

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