人教五四新版九年級(jí)（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數(shù)（25）

一、解答題（共30小題）

• 1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x軸上，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)A，D的坐標(biāo)分別為A（0，2），D（2，2），AB=2

  2

  ，連接AC．
  （1）求出直線AC的函數(shù)解析式；
  （2）求過(guò)點(diǎn)A，C，D的拋物線的函數(shù)解析式；
  （3）在拋物線上有一點(diǎn)P（m,n）（n＜0），過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于x軸，垂足為M，連接PC，使以點(diǎn)C，P，M為頂點(diǎn)的三角形與Rt△AOC相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
  組卷：1507引用：52難度：0.1

  解析

• 2．如圖，已知一次函數(shù)y₁=

  1

  2

  x+b的圖象l與二次函數(shù)y₂=-x²+mx+b的圖象C′都經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，1）和點(diǎn)C，且圖象C′過(guò)點(diǎn)A（2-

  5

  ，0）．
  （1）求二次函數(shù)的最大值；
  （2）設(shè)使y₂＞y₁成立的x取值的所有整數(shù)和為s,若s是關(guān)于x的方程

  （

  1

  +

  1

  a

  -

  1

  ）

  x

  +

  3

  x

  -

  3

  =0的根，求a的值；
  （3）若點(diǎn)F、G在圖象C′上，長(zhǎng)度為

  5

  的線段DE在線段BC上移動(dòng)，EF與DG始終平行于y軸，當(dāng)四邊形DEFG的面積最大時(shí)，在x軸上求點(diǎn)P，使PD+PE最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
  組卷：1820引用：53難度：0.1

  解析

• 3．如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B（4，0）．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）若拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F是位于x軸上方對(duì)稱軸上一點(diǎn)，F(xiàn)C∥x軸，與對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線交于點(diǎn)C，且四邊形OECF是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
  （3）在（2）的條件下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：2061引用：60難度：0.1

  解析

• 4．如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標(biāo)軸的正半軸上，BC∥x軸，OA=OC=4，以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線過(guò)A，B，C三點(diǎn)．
  （1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
  （2）已知直線l的解析式為y=x+m,它與x軸交于點(diǎn)G，在梯形ABCO的一邊上取點(diǎn)P．
  ①當(dāng)m=0時(shí)，如圖1，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥直線l于點(diǎn)H，連接OP，試求△OPH的面積；
  ②當(dāng)m=-3時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)．是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  
  組卷：4538引用：53難度：0.1

  解析

• 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²-（m+n）x+mn（m＞n）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．
  （1）若m=2，n=1，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
  （2）若A、B兩點(diǎn)分別位于y軸的兩側(cè)，C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-1），求∠ACB的大??；
  （3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．
  
  組卷：2980引用：52難度：0.5

  解析

• 6．如圖，在矩形AOCD中，把點(diǎn)D沿AE對(duì)折，使點(diǎn)D落在OC上的F點(diǎn)，已知AO=8．AD=10．
  （1）求F點(diǎn)的坐標(biāo)；
  （2）如果一條不與拋物線對(duì)稱軸平行的直線與該拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，我們把這條直線稱為拋物線的切線，已知拋物線過(guò)點(diǎn)O，F(xiàn)，且直線y=6x-36是該拋物線的切線，求拋物線的解析式；
  （3）直線y=k（x-3）-

  35

  4

  與（2）中的拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-

  35

  4

  ），求證：

  1

  PB

  +

  1

  QB

  為定值．（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則M，N兩點(diǎn)間的距離為|MN|=

  （

  x

  2

  -

  x

  1

  ）

  2

  +

  （

  y

  2

  -

  y

  1

  ）

  2

  ）
  組卷：1784引用：53難度：0.1

  解析

• 7．已知拋物線y=x²-（k+2）x+

  5

  k

  +

  2

  4

  和直線y=（k+1）x+（k+1）²．
  （1）求證：無(wú)論k取何實(shí)數(shù)值，拋物線總與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
  （2）拋物線于x軸交于點(diǎn)A、B，直線與x軸交于點(diǎn)C，設(shè)A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂、x₃，求x₁?x₂?x₃的最大值；
  （3）如果拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的右邊，直線與x軸的交點(diǎn)C在原點(diǎn)的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點(diǎn)D、E，直線AD交直線CE于點(diǎn)G（如圖），且CA?GE=CG?AB，求拋物線的解析式．
  組卷：959引用：51難度：0.1

  解析

• 8．如圖，拋物線y=ax²-8ax+12a（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-6，0），且∠ACD=90°．
  （1）請(qǐng)直接寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
  （2）求拋物線的解析式；
  （3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及周長(zhǎng)的最小值；若不存在，說(shuō)明理由；
  （4）平行于y軸的直線m從點(diǎn)D出發(fā)沿x軸向右平行移動(dòng)，到點(diǎn)A停止．設(shè)直線m與折線DCA的交點(diǎn)為G，與x軸的交點(diǎn)為H（t,0）．記△ACD在直線m左側(cè)部分的面積為s,求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍．
  組卷：1663引用：52難度：0.1

  解析

• 9．如圖，已知拋物線y=

  3

  8

  x²-

  3

  4

  x-3與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C．
  （1）直接寫(xiě)出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
  （2）若點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸上，使得MD+MC的值最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
  （3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：2706引用：54難度：0.1

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• 10．綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是平行四邊形，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（-2，3），拋物線W經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)，D是拋物線W的頂點(diǎn)．
  （1）求拋物線W的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
  （2）將拋物線W和?OABC一起先向右平移4個(gè)單位后，再向下平移m（0＜m＜3）個(gè)單位，得到拋物線W′和?O′A′B′C′，在向下平移的過(guò)程中，設(shè)?O′A′B′C′與?OABC的重疊部分的面積為S，試探究：當(dāng)m為何值時(shí)S有最大值，并求出S的最大值；
  （3）在（2）的條件下，當(dāng)S取最大值時(shí)，設(shè)此時(shí)拋物線W′的頂點(diǎn)為F，若點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線W′上的動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：2654引用：54難度：0.1

  解析

一、解答題（共30小題）

• 29．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
  （1）求過(guò)O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式．
  （2）在第一象限的拋物線上存在點(diǎn)M，使以O(shè)、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形面積最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
  （3）作直線x=m交拋物線于點(diǎn)P，交線段OB于點(diǎn)Q，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求m的值．
  組卷：2779引用：55難度：0.1

  解析

• 30．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過(guò)O、B、C三點(diǎn)，B、C坐標(biāo)分別為（10，0）和（

  18

  5

  ，-

  24

  5

  ），以O(shè)B為直徑的⊙A經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，直線l垂直x軸于B點(diǎn)．
  （1）求直線BC的解析式；
  （2）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
  （3）點(diǎn)M是⊙A上一動(dòng)點(diǎn)（不同于O，B），過(guò)點(diǎn)M作⊙A的切線，交y軸于點(diǎn)E，交直線l于點(diǎn)F，設(shè)線段ME長(zhǎng)為m,MF長(zhǎng)為n,請(qǐng)猜想m?n的值，并證明你的結(jié)論；
  （4）若點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒一個(gè)單位的速度向點(diǎn)B做直線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從B出發(fā)，以相同速度向點(diǎn)C做直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t（0＜t≤8）秒時(shí)恰好使△BPQ為等腰三角形，請(qǐng)求出滿足條件的t值．
  組卷：1541引用：51難度：0.1

  解析