2022-2023學(xué)年江蘇省南京師大附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題繪出的四個(gè)選項(xiàng)中.只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

• 1．已知向量

  a

  =

  （

  2

  m

  +

  1

  ，

  3

  ，

  m

  -

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  2

  ，

  m

  ,-

  m

  ）

  ，且

  a

  ∥

  b

  ，則實(shí)數(shù)m的值為（　　）

  A．0或 3 2

  B． 3 2

  C．0或-2

  D．-2
  組卷：131引用：2難度：0.8

  解析

• 2．已知兩平面的法向量分別為

  m

  =

  （

  0

  ，

  1

  ，

  1

  ）

  ，

  n

  =

  （

  1

  ，

  1

  ，

  1

  ）

  ，則兩平面所成的二面角的正弦值為（　?。?/h2>

  A． 6 3

  B． 3 3

  C． 1 3

  D． 2 2 3
  組卷：115引用：5難度：0.7

  解析

• 3．如圖，用4種不同的顏色給圖中A，B，C，D四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（　　）

  A．48

  B．72

  C．84

  D．108
  組卷：102引用：2難度：0.7

  解析

• 4．將邊長為1的正方形AA₁O₁O（及其內(nèi)部）繞OO₁旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，

  ?

  AC

  長為

  2

  π

  3

  ，

  ?

  A

  1

  B

  1

  長為

  π

  3

  ，其中B₁與C在平面AA₁O₁O的同側(cè)．則異面直線B₁C與AA₁所成的角的大小為（　?。?/h2>

  A． π 6

  B． π 4

  C． π 3

  D． π 2
  組卷：109引用：3難度：0.7

  解析

• 5．2023年五一假期，小明同學(xué)外出去某超市購物，獲得了該超市的一次抽獎(jiǎng)機(jī)會，小明需從9個(gè)外觀完全相同的盲盒中，隨機(jī)抽取3個(gè)，已知這9個(gè)盲盒中有3個(gè)盲盒各裝有1支完全相同的鋼筆，另外6個(gè)盲盒中各裝有不同的1個(gè)小飾品，則拆開選取的3個(gè)盲盒后，小明收獲獎(jiǎng)品的所有情形的種類有（　　）

  A．84

  B．86

  C．42

  D．44
  組卷：46引用：2難度：0.7

  解析

• 6．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁與B₁C相交于點(diǎn)O，∠A₁AB=∠A₁AC=60°，∠BAC=90°，A₁A=3，AB=2，AC=4，則線段AO的長度為（　?。?/h2>

  A． 47 2

  B． 47

  C． 38 2

  D． 38
  組卷：58引用：2難度：0.7

  解析

• 7．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  e x ， x ＞ 0

  - 2 x 2 + 4 x + 1 ， x ≤ 0

  若方程f（x）+kx=0恰好有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　?。?/h2>

  A． （ 1 e ， 0 ）

  B． （ - ∞ ，- 1 e ）

  C．（-e,0）

  D．（-∞，-e）
  組卷：76引用：2難度：0.5

  解析

三、解答題（本大題共5小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 20．如圖，已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B=1，

  A

  A

  1

  =

  5

  ，AB=BC=2，∠BAC=30°，平面ABB₁A₁⊥平面ABC．
  （1）求AA₁與BC所成角的余弦值；
  （2）在棱AA₁上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BC-B₁的余弦值為

  -

  5

  13

  26

  ？若存在，求出

  AE

  A

  A

  1

  的值，若不存在，說明理由．
  組卷：75引用：2難度：0.5

  解析

• 21．已知f（x）=e^x+sinx-ax-1，a為實(shí)數(shù)．
  （1）若f'（0）=0，求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
  （2）若x≥0時(shí)，f（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
  （3）當(dāng)a=e時(shí)，若

  x

  1

  ，

  x

  2

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，f（x₁）=f（x₂），且f（x）在x=t處取極值，求證：x₁+x₂＜2t.
  組卷：78引用：3難度：0.3

  解析