2022-2023學(xué)年上海市虹口區(qū)復(fù)興中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共12小題，1-6題每題4分，7-12題每題5分，滿分54分）

• 1．直線x-y-1=0的傾斜角大小為

  ．
  組卷：73引用：2難度：0.9

  解析

• 2．橢圓2x²+3y²=6的焦距為

  ．
  組卷：20引用：3難度：0.9

  解析

• 3．拋物線y²=2x的準(zhǔn)線方程為
  組卷：395引用：11難度：0.8

  解析

• 4．雙曲線

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  36

  =1的漸近線方程為

  ．
  組卷：106引用：2難度：0.7

  解析

• 5．已知圓x²+y²=5和點(diǎn)A（2，-1），則過(guò)點(diǎn)A的圓的切線方程為

  ．
  組卷：85引用：1難度：0.7

  解析

• 6．已知直線l過(guò)點(diǎn)（-1，0）且與直線2x-y=0垂直，則圓x²+y²-4x+8y=0與直線l相交所得的弦長(zhǎng)為

  ．
  組卷：793引用：6難度：0.7

  解析

• 7．若直線l₁：xcosθ+2y=0與直線l₂：3x+ysinθ+3=0垂直，則sin2θ=

  ．
  組卷：291引用：3難度：0.6

  解析

三、解答題（本大題共5小題，滿分58分）解答下列各題要有必要的解題步驟，并請(qǐng)?jiān)谝?guī)定處答題，否則不得分.

• 20．設(shè)拋物線Γ：y²=2px（p＞0），D（x₀，y₀）滿足y₀²＞2px₀，過(guò)點(diǎn)D作拋物線Γ的切線，切點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂．y₂）．
  （1）求證：直線yy₁=p（x+x₁）與拋物線Γ相切：
  （2）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)D在拋物線Γ的準(zhǔn)線上，求點(diǎn)B的坐標(biāo)：
  （3）設(shè)點(diǎn)D在直線x+p=0上運(yùn)動(dòng)，直線AB是否恒過(guò)定點(diǎn)？若恒過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：119引用：2難度：0.4

  解析

• 21．已知橢圓Ω：

  x

  2

  16

  +

  y

  2

  12

  =

  1

  ．雙曲線Γ的實(shí)軸頂點(diǎn)就是橢圓Ω的焦點(diǎn)，雙曲線Γ的焦距等于橢圓Ω的長(zhǎng)軸長(zhǎng)．
  （1）求雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （2）設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（3，0）與橢圓Ω交于A、B兩點(diǎn)，求△OAB的面積的最大值；
  （3）設(shè)直線l：y=kx+m（其中k,m為整數(shù)）與橢圓Ω交于不同兩點(diǎn)A、B，與雙曲線Γ交于不同兩點(diǎn)C，D，問(wèn)是否存在直線l,使得向量

  AC

  +

  BD

  =

  0

  ，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：57引用：1難度：0.3

  解析