人教五四新版九年級(jí)（上）中考題單元試卷：第28章 二次函數(shù)（24）

一、解答題（共30小題）

• 1．已知：如圖，在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，A（1，-1），B（3，-1），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿著x軸正方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)．過點(diǎn)P作PQ垂直于直線OA，垂足為點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間t秒（0＜t＜2），△OPQ與四邊形OABC重疊部分的面積為S．
  （1）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式，并確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
  （2）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P、點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
  （3）如果將△OPQ繞著點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t,使得△OPQ的頂點(diǎn)O或頂點(diǎn)Q在拋物線上？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
  （4）求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．
  組卷：3869引用：61難度：0.1

  解析

• 2．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，3），其頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為直線x=1．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABM為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
  （3）將△AOB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜m＜3）得到另一個(gè)三角形，將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S，用m的代數(shù)式表示S．
  組卷：3581引用：62難度：0.1

  解析

• 3．如圖，已知拋物線y=

  k

  8

  （x+2）（x-4）（k為常數(shù)，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線y=-

  3

  3

  x+b與拋物線的另一交點(diǎn)為D．
  （1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
  （2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求k的值；
  （3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？
  組卷：9582引用：70難度：0.1

  解析

• 4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是多少？
  （3）當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)K，使S_△CBK：S_△PBQ=5：2，求K點(diǎn)坐標(biāo)．
  組卷：5642引用：69難度：0.1

  解析

• 5．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-3，0）、C（0，4），點(diǎn)B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值；
  （3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．
  組卷：4899引用：62難度：0.1

  解析

• 6．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，-1），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）判斷△MAB的形狀，并說明理由；
  （3）過原點(diǎn)的任意直線（不與y軸重合）交拋物線于C、D兩點(diǎn)，連接MC，MD，試判斷MC、MD是否垂直，并說明理由．
  組卷：2331引用：56難度：0.1

  解析

• 7．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），拋物線的對(duì)稱軸x=1與拋物線交于點(diǎn)D，與直線BC交于點(diǎn)E．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）若點(diǎn)F是直線BC上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F使四邊形ABFC的面積為17，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
  （3）平行于DE的一條動(dòng)直線l與直線BC相交于點(diǎn)P，與拋物線相交于點(diǎn)Q，若以D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
  組卷：5303引用：67難度：0.1

  解析

• 8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線是由拋物線y=x²-3向右平移一個(gè)單位后得到的，它與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B在該拋物線上，且橫坐標(biāo)為3．
  （1）求點(diǎn)M、A、B坐標(biāo)；
  （2）連接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
  （3）點(diǎn)P是頂點(diǎn)為M的拋物線上一點(diǎn)，且位于對(duì)稱軸的右側(cè)，設(shè)PO與x軸正半軸的夾角為α，當(dāng)α=∠ABM時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．
  組卷：4683引用：54難度：0.1

  解析

• 9．如圖①，直線l：y=mx+n（m＜0，n＞0）與x,y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，過點(diǎn)A，B，D的拋物線P叫做l的關(guān)聯(lián)拋物線，而l叫做P的關(guān)聯(lián)直線．
  （1）若l：y=-2x+2，則P表示的函數(shù)解析式為

  ；若P：y=-x²-3x+4，則l表示的函數(shù)解析式為

  ．
  （2）求P的對(duì)稱軸（用含m,n的代數(shù)式表示）；
  （3）如圖②，若l：y=-2x+4，P的對(duì)稱軸與CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在l上，點(diǎn)Q在P的對(duì)稱軸上．當(dāng)以點(diǎn)C，E，Q，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
  （4）如圖③，若l：y=mx-4m,G為AB中點(diǎn)，H為CD中點(diǎn)，連接GH，M為GH中點(diǎn)，連接OM．若OM=

  10

  ，直接寫出l,P表示的函數(shù)解析式．
  
  組卷：4029引用：56難度：0.1

  解析

• 10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上．
  （1）求拋物線的解析式；
  （2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
  （3）過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
  
  組卷：5183引用：61難度：0.1

  解析

一、解答題（共30小題）

• 29．如圖，拋物線y=x²-2mx（m＞0）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，過P（1，-m）作PM⊥x軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)B．點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C．
  （1）若m=2，求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
  （2）令m＞1，連接CA，若△ACP為直角三角形，求m的值；
  （3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)E，使得△PEC是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：2118引用：53難度：0.1

  解析

• 30．如圖，拋物線y=-

  1

  4

  x²+

  3

  2

  x-2交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D，將△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到△FEC，連接BF．
  （1）求點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)解析式；
  （2）求△BCF的面積；
  （3）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
  組卷：2233引用：51難度：0.1

  解析