2022-2023學(xué)年貴州省貴陽(yáng)市三新改革聯(lián)盟校高一（下）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（5月份）

一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．

• 1．i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=1+i,則|z|=（　?。?/h2>

  A．1

  B．2

  C． 2

  D． 2 2
  組卷：12引用：2難度：0.8

  解析

• 2．已知

  a

  =

  （

  0

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  2

  ）

  ，

  c

  =

  （

  2

  ，

  3

  ）

  ，則（　?。?/h2>

  A． a + b = c

  B． a + c = 2 b

  C． 2 a + b = c

  D． a + 2 b = c
  組卷：88引用：2難度：0.8

  解析

• 3．n棱柱（n∈N^*，n≥3）的頂點(diǎn)數(shù)為V，棱數(shù)為E，面數(shù)為F，則V+F-E=（　?。?/h2>

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．2
  組卷：15引用：2難度：0.7

  解析

• 4．等腰直角三角形的斜邊為2，以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（　?。?/h2>

  A． π 3

  B． 2 π 3

  C． 2 π 3

  D． 2 2 π 3
  組卷：48引用：2難度：0.8

  解析

• 5．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，異面直線BD與B₁C所成角為（　?。?/h2>

  A．30°

  B．45°

  C．60°

  D．90°
  組卷：85引用：3難度：0.7

  解析

• 6．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所有棱長(zhǎng)均為2，則二面角A-BC-A₁的余弦值為（　?。?/h2>

  A． 1 3

  B． 6 3

  C． 21 7

  D． 2 3
  組卷：295引用：4難度：0.5

  解析

• 7．在△ABC中，|AB|=5，|BC|=6，|AC|=7，則△ABC的面積是（　?。?/h2>

  A． 15 3 2

  B． 6 6

  C．12

  D． 12 6
  組卷：54引用：3難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

• 21．如圖，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BE⊥AC，垂足為E，BF⊥AD，垂足為F．
  （1）求證：平面ABC⊥平面ACD；
  （2）求證：AE?AC=AF?AD．
  組卷：43引用：2難度：0.5

  解析

• 22．材料1．類(lèi)比是獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的重要思想之一，很多優(yōu)美的數(shù)學(xué)結(jié)論就是利用類(lèi)比思想獲得的．例如：若a＞0，b＞0，則

  a

  +

  b

  2

  ≥

  ab

  ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)，我們稱(chēng)為二元均值不等式．類(lèi)比二元均值不等式得到三元均值不等式：a＞0，b＞0，c＞0，則

  a

  +

  b

  +

  c

  3

  ≥

  3

  abc

  ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取等號(hào)．我們經(jīng)常用它們求相關(guān)代數(shù)式或幾何問(wèn)題的最值，某同學(xué)做下面幾何問(wèn)題就是用三元均值不等式圓滿完成解答的．
  題：將邊長(zhǎng)為12cm的正方形硬紙片（如圖1）的四個(gè)角裁去四個(gè)相同的小正方形后，折成如圖2的無(wú)蓋長(zhǎng)方體小紙盒，求紙盒容積的最大值．
  
  解：設(shè)截去的小正方形的邊長(zhǎng)為x（0＜x＜6），則紙盒容積V=（12-2x）²x=

  1

  4

  （

  12

  -

  2

  x

  ）

  （

  12

  -

  2

  x

  ）

  （

  4

  x

  ）

  ≤

  1

  4

  （

  12

  -

  2

  x

  +

  12

  -

  2

  x

  +

  4

  x

  3

  ）

  3

  =128．
  當(dāng)且僅當(dāng)12-2x=12-2x=4x,即x=2時(shí)取等號(hào)．所以紙金的容積取得最大值128cm³．在求V的最大值中，用均值不等式求最值時(shí)，遵循“一正二定三相等”的規(guī)則．你也可以將V=（12-2x）²x變形為V=（12-2x）²x=2（6-x）（6-x）（2x）求解．
  你還可以設(shè)紙盒的底面邊長(zhǎng)為a,高為b,則a+2b=12，則紙盒容積V=a²b=

  1

  4

  aa

  （

  4

  b

  ）

  ≤

  1

  4

  （

  a

  +

  a

  +

  4

  b

  3

  ）

  3

  =

  1

  4

  ×

  （

  2

  （

  a

  +

  2

  b

  ）

  3

  ）

  3

  =

  1

  4

  ×

  （

  2

  ×

  12

  3

  ）

  3

  =128．
  當(dāng)且僅當(dāng)a=a=4b,即a=8，b=2時(shí)取等號(hào)，所以紙盒的容積取得最大值128cm³．
  材料2．《數(shù)學(xué)必修二》第八章8.3節(jié)習(xí)題8.3設(shè)置了如下第4題：
  如圖1，圓錐的底面直徑和高均為a,過(guò)PO的中點(diǎn)O₁作平行于底面的截面，以該截面為底的面挖去一個(gè)圓柱，求剩下幾何體的表面積和體積．我們稱(chēng)圓柱為圓錐的內(nèi)接圓柱．
  根據(jù)材料1與材料2完成下列問(wèn)題．
  如圖2，底面直徑和高均為6cm的圓錐有一個(gè)底面半徑為R，高為H的內(nèi)接圓柱．
  
  （1）求R與H的關(guān)系式；
  （2）求圓柱側(cè)面積的最大值；
  （3）求圓柱體積的最大值．
  組卷：62引用：2難度：0.5

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