滬教版高二（下）高考題單元試卷：第12章 圓錐曲線（08）

一、填空題（共4小題）

• 1．如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，離心率

  e

  =

  2

  2

  ，過左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點(diǎn)，|AA′|=4．
  （Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （Ⅱ）取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．求△PP'Q的面積S的最大值，并寫出對應(yīng)的圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．
  組卷：645引用：7難度：0.1

  解析

• 2．已知直線y=a交拋物線y=x²于A，B兩點(diǎn)，若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為

  ．
  組卷：1026引用：25難度：0.5

  解析

• 3．設(shè)F為拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P（-1，0）的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，若|FQ|=2，則直線l的斜率等于

  ．
  組卷：1284引用：13難度：0.5

  解析

• 4．橢圓Γ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2c,若直線y=

  3

  （

  x

  +

  c

  ）

  與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，則該橢圓的離心率等于

  ．
  組卷：2324引用：42難度：0.5

  解析

二、解答題（共26小題）

• 5．已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B₁，B₂．
  （1）若△F₁B₁B₂為等邊三角形，求橢圓C的方程；
  （2）若橢圓C的短軸長為2，過點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且

  F

  1

  P

  ⊥

  F

  1

  Q

  ，求直線l的方程．
  組卷：1366引用：42難度：0.1

  解析

• 6．設(shè)橢圓E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  1

  -

  a

  2

  =

  1

  的焦點(diǎn)在x軸上
  （1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
  （2）設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線F₂P交y軸于點(diǎn)Q，并且F₁P⊥F₁Q，證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線上．
  組卷：1399引用：12難度：0.1

  解析

• 7．如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，10），分別將線段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為A₁，A₂，…，A₉和B₁，B₂，…，B₉，連接OB_i，過A_i作x軸的垂線與OB_i，交于點(diǎn)P_i（i∈N*，1≤i≤9）．
  （1）求證：點(diǎn)P_i（i∈N*，1≤i≤9）都在同一條拋物線上，并求拋物線E的方程；
  （2）過點(diǎn)C作直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，若△OCM與△OCN的面積之比為4：1，求直線l的方程．
  組卷：511引用：10難度：0.5

  解析

• 8．已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F．
  （1）點(diǎn)A，P滿足

  AP

  =

  -

  2

  FA

  ．當(dāng)點(diǎn)A在拋物線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
  （2）在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)在拋物線C上？如果存在，求所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
  組卷：798引用：7難度：0.3

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• 9．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的離心率為

  3

  2

  ，左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，以F₁為圓心以3為半徑的圓與以F₂為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上．
  （Ⅰ）求橢圓C的方程；
  （Ⅱ）設(shè)橢圓E：

  x

  2

  4

  a

  2

  +

  y

  2

  4

  b

  2

  =1，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線y=kx+m交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q．
  （?。┣髚

  OQ

  OP

  |的值；
  （ⅱ）求△ABQ面積的最大值．
  組卷：5361引用：14難度：0.5

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• 10．如圖，橢圓E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（0，-1），且離心率為

  2

  2

  ．
  （Ⅰ）求橢圓E的方程；
  （Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ斜率之和為2．
  組卷：9953引用：36難度：0.5

  解析

二、解答題（共26小題）

• 29．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：

  x

  2

  +

  y

  2

  2

  =

  1

  在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為-

  2

  的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

  OA

  +

  OB

  +

  OP

  =

  0

  ．
  （Ⅰ）證明：點(diǎn)P在C上；
  （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上．
  組卷：2481引用：11難度：0.1

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• 30．如圖，橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  經(jīng)過點(diǎn)P（1，

  3

  2

  ），離心率e=

  1

  2

  ，直線l的方程為x=4．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦（不經(jīng)過點(diǎn)P），設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k₁，k₂，k₃．問：是否存在常數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．
  組卷：4742引用：77難度：0.1

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