2022-2023學(xué)年上海交大附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）

• 1．已知集合A={x|x²-6x+8≤0}，B={x||x-1|＜2，x∈Z}，則A∩B=

  ．
  組卷：114引用：1難度：0.7

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• 2．已知

  a

  =

  （

  1

  ，

  0

  ）

  ，

  b

  =

  （

  3

  ，

  4

  ）

  ，則向量

  a

  在向量

  b

  方向上的數(shù)量投影為

  ．
  組卷：39引用：2難度：0.8

  解析

• 3．已知直線l₁：mx-y+1=0，直線l₂：4x-my+2=0，若l₁∥l₂，則m=

  ．
  組卷：200引用：4難度：0.8

  解析

• 4．已知復(fù)數(shù)z滿足

  z

  i=3+4i（i是虛數(shù)單位），則|z|=
  組卷：117引用：5難度：0.8

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• 5．函數(shù)y=

  x

  2

  +

  3

  x

  2

  +

  2

  的最小值是

   

  ．
  組卷：188引用：5難度：0.5

  解析

• 6．母線長為10的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于

  8

  π

  5

  ，則該圓錐的體積為

  ．
  組卷：100引用：4難度：0.6

  解析

• 7．直線l過點(diǎn)P（2，3），當(dāng)原點(diǎn)到直線l的距離最大時，直線l的方程為

  ．
  組卷：202引用：1難度：0.7

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三、解答題（本大題共5道小題，共78分）

• 20．直線l與拋物線y²=4x交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA、OB的斜率之積為-1，以線段AB的中點(diǎn)為圓心，

  2

  為半徑的圓與直線l交于P、Q兩點(diǎn)．
  （1）求證：直線l過定點(diǎn)；
  （2）求AB中點(diǎn)的軌跡方程；
  （3）設(shè)M（6，0），求|MP|²+|MQ|²的最小值．
  組卷：79引用：1難度：0.3

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• 21．已知△ABC的三個頂點(diǎn)都在橢圓Γ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =1上．
  （1）設(shè)它的三條邊AB，BC，AC的中點(diǎn)分別為D，E，M，且三條邊所在線的斜率分別為k₁，k₂，k₃，且k₁，k₂，k₃均不為0．點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OD，OE，OM的斜率之和為1．求證：

  1

  k

  1

  +

  1

  k

  2

  +

  1

  k

  3

  為定值；
  （2）當(dāng)O是△ABC的重心時，求證：△ABC的面積是定值；
  （3）如圖，設(shè)△ABC的邊AB所在直線與x軸垂直，垂足為橢圓右焦點(diǎn)F，過點(diǎn)F分別作直線l₁、l₂與橢圓交于C、D、E、G（不同于A、B兩點(diǎn)），連結(jié)CG、DE與AB分別交于M、N，求證：|FM|=|FN|．
  組卷：52引用：1難度：0.6

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