當(dāng)前位置： 2022-2023學(xué)年山東省濟(jì)南市歷城六中八年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）> 試題詳情

一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+2
2
=（1+
2
）²．
設(shè)a+b
2
=
（
m
+
n
2
）
2
（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有a+b
2
=m²+2n²+2mn
2
，∴a=m²+2n²，b=2mn.這樣可以把部分a+b
2
的式子化為平方式的方法．
請(qǐng)你仿照上述的方法探索并解決下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b
3
=（m+n
3
）²，用含m、n的式子分別表示a、b,得：a=
m²+3n²
m²+3n²
，b=
2mn
2mn
．
（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：
21
21
+
4
4
5
=（
1
1
+
2
2
5
）²；
（3）化簡(jiǎn)
1
16
-
6
7
-
1
11
+
4
7

【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值；完全平方式．

【答案】m²+3n²；2mn；21；4；1；2

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：7773引用：12難度：0.3

相似題

1．黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合璧，天下無(wú)敵，這是武俠小說(shuō)中的常見(jiàn)描述，其意思是指兩個(gè)人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比，在二次根式中也常有這種相輔相成的“對(duì)子”，如：（2+
3
）（2-
3
）=1，（
5
+
2
）（
5
-
2
）=3，它們的積中不含根號(hào)，我們說(shuō)這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，其中一個(gè)叫另一個(gè)的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣解：
1
3
=
1
×
3
3
×
3
=
3
3
，
2
+
3
2
-
3
=
（
2
+
3
）
（
2
+
3
）
（
2
-
3
）
（
2
+
3
）
=7+4
3
．
像這樣通過(guò)分子、分母同乘一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去的方法，叫做分母有理化．
解決問(wèn)題：
（1）5+
7
的有理化因式是
；將
4
3
2
分母有理化得
；
（2）若a≥0，b≥0，則
a
-
b
的有理化因式為
；
（3）已知：x=
5
+
3
5
-
3
，y=
5
-
3
5
+
3
，求
1
x
+
1
y
的值．
發(fā)布：2024/11/3 8:0:2組卷：39引用：1難度：0.7
解析
2．黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合璧，天下無(wú)敵，這是武俠小說(shuō)中的常見(jiàn)描述，其意思是指兩個(gè)人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比，在二次根式中也常有這種相輔相成的“對(duì)子”，如：
（
2
+
3
）
（
2
-
3
）
=
1
，
（
5
+
2
）
（
5
-
2
）
=
3
，它們的積中不含根號(hào)，我們說(shuō)這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣解：
1
3
=
1
×
3
3
×
3
=
3
3
，
2
+
3
2
-
3
=
（
2
+
3
）
（
2
+
3
）
（
2
-
3
）
（
2
+
3
）
=
7
+
4
3
．
像這樣通過(guò)分子、分母同乘一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去的方法，叫做分母有理化．
解決問(wèn)題：
（1）4+
7
的有理化因式是
；將
2
3
2
分母有理化得
；
（2）已知：x=
3
+
2
3
-
2
，
y
=
3
-
2
3
+
2
，
求
1
x
+
1
y
的值．
發(fā)布：2024/11/3 8:0:2組卷：687引用：2難度：0.6
解析
3．閱讀材料：
黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無(wú)敵．這是武俠小說(shuō)中的常見(jiàn)描述，其意是指兩個(gè)人合在一起，取長(zhǎng)補(bǔ)短，威力無(wú)比．
在二次根式中也有這種相輔相成的“對(duì)子”．如：（2+
3
）（2-
3
）=1，（
5
+
2
）（
5
-
2
）=3，它們的積不含根號(hào)，我們說(shuō)這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：
1
3
=
1
?
3
3
?
3
=
3
3
，
2
+
3
2
-
3
=
（
2
+
3
）
（
2
+
3
）
（
2
+
3
）
（
2
-
3
）
=
7
+
4
3
．像這樣，通過(guò)分子、分母同
乘以一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去或把根號(hào)中的分母化去，叫做分母有理化．
解決問(wèn)題：
（1）4-
7
的有理化因式可以是
，
3
2
3
分母有理化得
．
（2）計(jì)算：①已知x=
3
+
1
3
-
1
，y=
3
-
1
3
+
1
，求x²+y²的值；
②
1
1
+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4
+…+
1
1999
+
2000
發(fā)布：2024/11/3 8:0:2組卷：294引用：2難度：0.8
解析

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