2021-2022學年北京市海淀區(qū)育英學校高三（下）期中數(shù)學試卷

一、選擇題.（每小題4分，共40分）

• 1．設(shè)A，B是R中兩個子集，對x∈R，定義：

  m

  =

  0 ， x ? A

  1 ， x ∈ A

  ，

  n

  =

  0 ， x ? B

  1 ， x ∈ B

  ，若對任意x∈R，m+n=1，則A，B的關(guān)系為（　?。?/h2>

  A．B=?RA

  B．B=?R（A∩B）

  C．A=?RB

  D．A=?R（A∩B）
  組卷：67引用：4難度：0.7

  解析

• 2．若a＞b,則（　?。?/h2>

  A．ln（a-b）＞0

  B．3a＜3b

  C．a(chǎn)3-b3＞0

  D．|a|＞|b|
  組卷：2958引用：40難度：0.9

  解析

• 3．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃+a₈=20，且a₅是a₂與a₁₄的等比中項．設(shè)數(shù)列{b_n}滿足

  b

  n

  =

  1

  a

  n

  a

  n

  +

  1

  （

  n

  ∈

  N

  *

  ）

  ，則數(shù)列{b_n}的前n項和S_n為（　?。?/h2>

  A． 1 2 （ 1 - 1 2 n + 1 ） = n 2 n + 1	B． 1 2 （ 1 + 1 2 n + 1 ） = n 2 n + 1
  C． 1 2 （ 1 - 1 2 n + 1 ） = n 2 n - 1	D． 1 2 （ 1 + 1 2 n + 1 ） = n 2 n - 1
  組卷：131引用：7難度：0.5

  解析

• 4．已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x，下列命題正確的是（　?。?br />①f（x）是奇函數(shù)；
  ②方程f（x）=x²+2x有且僅有1個實數(shù)根；
  ③f（x）在R上是增函數(shù)；
  ④如果對任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx,那么k的最大值為2．

  A．①②④

  B．①③④

  C．①②③

  D．②③④
  組卷：13引用：3難度：0.6

  解析

• 5．二項式

  （

  3

  x

  +

  1

  2

  x

  ）

  8

  的展開式中的常數(shù)項是（　　）

  A．14

  B．7

  C． 35 8

  D． 7 4
  組卷：25引用：8難度：0.7

  解析

• 6．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,則“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（　　）

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：166引用：20難度：0.9

  解析

• 7．已知橢圓

  G

  ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  =

  1

  ．過點（m,0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓G于A，B兩點．將|AB|表示為m的函數(shù)，則|AB|的最大值是（　?。?/h2>

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：55引用：4難度：0.5

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三、解答題.（共85分）

• 20．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-a-lnx,g（x）=

  1

  x

  -

  1

  e

  x

  -

  1

  ，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)．
  （Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
  （Ⅱ）證明：當x＞1時，g（x）＞0；
  （Ⅲ）如果f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
  組卷：159引用：3難度：0.1

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• 21．設(shè)數(shù)列A：a₁，a₂，…，a_N（N≥2）．如果對小于n（2≤n≤N）的每個正整數(shù)k都有a_k＜a_n，則稱n是數(shù)列A的一個“G時刻”，記G（A）是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合．
  （Ⅰ）對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出G（A）的所有元素；
  （Ⅱ）證明：若數(shù)列A中存在a_n使得a_n＞a₁，則G（A）≠?；
  （Ⅲ）證明：若數(shù)列A滿足a_n-a_n-1≤1（n=2，3，…，N），則G（A）的元素個數(shù)不小于a_N-a₁．
  組卷：1705引用：9難度：0.3

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