2023-2024學(xué)年北京中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題。（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。

• 1．方程x（x-1）=0的解是（　?。?/h2>

  A．x=1

  B．x1=0，x2=1

  C．x=0

  D．x1=0，x2=-1
  組卷：185引用：8難度：0.9

  解析

• 2．關(guān)于x的一元二次方程x²+ax+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的值可以是（　?。?/h2>

  A．3

  B．-1

  C．1

  D．0
  組卷：35引用：1難度：0.8

  解析

• 3．將拋物線y=x²向右平移3個(gè)單位得到的拋物線表達(dá)式是（　?。?/h2>

  A．y=（x-3）2

  B．y=（x+3）2

  C．y=x2-3

  D．y=x2+3
  組卷：258引用：11難度：0.9

  解析

• 4．用配方法解方程x²+4x=1，變形后結(jié)果正確的是（　?。?/h2>

  A．（x-2）2=2

  B．（x+2）2=2

  C．（x-2）2=5

  D．（x+2）2=5
  組卷：143引用：18難度：0.6

  解析

• 5．關(guān)于二次函數(shù)y=-（x-2）²+3，以下說(shuō)法正確的是（　?。?/h2>

  A．當(dāng)x＞-2時(shí)，y隨x增大而減小

  B．當(dāng)x＞-2時(shí)，y隨x增大而增大

  C．當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x增大而減小

  D．當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x增大而增大
  組卷：698引用：7難度：0.8

  解析

• 6．已知m是方程x²-x-1=0的一個(gè)根，則代數(shù)式m²-m的值等于（　?。?/h2>

  A．1

  B．0

  C．-1

  D．2
  組卷：962引用：152難度：0.9

  解析

• 7．如圖是二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象，圖象上有兩點(diǎn)分別為A（2.18，-0.51），B（2.68，0.54），則方程ax²+bx+c=0的一個(gè)解有可能是（　　）

  A．2.18

  B．2.68

  C．-0.51

  D．2.45
  組卷：214引用：3難度：0.7

  解析

• 8．某同學(xué)將如圖所示的三條水平直線m₁，m₂，m₃的其中一條記為x軸（向右為正方向），三條豎直直線m₄，m₅，m₆的其中一條記為y軸（向上為正方向），并在此坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出了二次函數(shù)y=ax²-2ax+1（a＜0）的圖象，那么她所選擇的x軸和y軸分別為直線（　?。?/h2>

  A．m1，m4

  B．m2，m5

  C．m3，m6

  D．m2，m4
  組卷：940引用：11難度：0.7

  解析

二、填空題。（每題2分，共16分）

• 9．拋物線y=-3（x-1）²+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

  ．
  組卷：657引用：20難度：0.6

  解析

三、解答題。（本題共68分，17題8分，18題4分，19題6分，第20-25題，每小題8分，第26題6分，第27-28題，每題7分）

• 27．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，連接AE，將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF，取EF中點(diǎn)G，連接DG．
  （1）依題意補(bǔ)全圖形；用等式表示∠ADG與∠CDG的數(shù)量關(guān)系，并證明；
  （2）若DG=

  2

  DF，用等式表示線段BC與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明．
  組卷：984引用：3難度：0.6

  解析

• 28．定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B．點(diǎn)P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若PA=PB，且∠APB≤120°時(shí)，稱點(diǎn)P為線段AB的“居中點(diǎn)”．特別地，當(dāng)PA=PB，且∠APB=120°時(shí)，又稱點(diǎn)P為線段AB的“正居中點(diǎn)”．拋物線y=x²-2

  3

  x與x軸的正半軸交于點(diǎn)M．
  （1）若點(diǎn)C是線段OM的“正居中點(diǎn)”，且在第一象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

  ，

  ）；
  （2）若點(diǎn)D是線段OM的“居中點(diǎn)”，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)d的取值范圍是

  ．
  （3）將射線OM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到射線m,已知點(diǎn)E在射線m上，若在第四象限內(nèi)存在點(diǎn)F，點(diǎn)F既是線段OM的“居中點(diǎn)”，又是線段OE的“正居中點(diǎn)”，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．
  
  組卷：168引用：2難度：0.3

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