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2022-2023學年重慶一中高三（上）期中數(shù)學試卷

發(fā)布：2024/4/20 14:35:0

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x²+x+1=0的根，則|z|=（　?。?/h2>
A．1 B．
2
C．
3
D．2
組卷：31引用：1難度：0.8
解析
2．在邊長為1的正方形ABCD中，下列說法錯誤的是（　?。?/h2>
A．
AB
+
AD
=
AC
B．
AC
≠
2
AB
C．
AC
?
AB
=
1
D．
?
AC
，
CB
?
=
π
4
組卷：14引用：2難度：0.5
解析
3．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a,b,c,c=6，B=60°，則b的最小值為（　　）
A．3 B．
2
3
C．
3
3
D．6
組卷：75引用：2難度：0.7
解析
4．幾何學中，把滿足某些特定條件的曲線組成的集合叫做曲線族．點Q是橢圓族T上任意一點，如圖所示，橢圓族T的元素滿足以下條件：①長軸長為4；②一個焦點為原點O；③過定點P（0，3），則|QP|+|QO|的最大值是（　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
組卷：75引用：5難度：0.5
解析
5．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}滿足：a₅+a₈=a₁₄，則
a
3
+
a
6
+
a
9
a
7
=（　?。?/h2>
A．
14
5
B．
21
8
C．
17
4
D．
18
7
組卷：80引用：3難度：0.6
解析
6．下列函數(shù)的最大值為1的函數(shù)是（　?。?/h2>
A．
y
=
1
-
x
-
2
3
B．y=x²+2x+2
C．
y
=
3
-
|
lnx
|
-
1
|
lnx
|
D．
y
=
sin
（
x
2
）
（
x
∈
[
0
，
π
2
]
）
組卷：23引用：3難度：0.5
解析
7．已知f（x）=e^x（x＞0），g（x）=（x-1）²（x＞0），若f（x₁）=g（x₂），則|x₁-x₂|的最小值是（　?。?/h2>
A．2 B．
2
-
e
C．
e
-
2
D．3-2ln2
組卷：28引用：2難度：0.6
解析

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四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

21．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
=
1
（
a
＞
1
）
，A，B分別為橢圓的上下頂點，點P為橢圓上異于點A的任一點，若|PA|的最大值僅在點P與點B重合時取到，在下列三個條件中能滿足要求的條件有 _____．
條件①：過焦點且與長軸垂直的弦長為
1
2
；
條件②：點P與點B不重合時，直線PA與PB的斜率之積為
-
1
2
；
條件③：F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點，∠F₁PF₂的最大值是120°．
（1）選出所有滿足要求的條件，說明理由并求出此時的橢圓方程；
（2）若過原點作與AP平行的直線l₁，與BP平行的直線l₂，l₁，l₂的斜率存在且分別與橢圓C交于M，N，E，G四點，則四邊形MENG的面積是否為定值？若為定值，求出該值；若非定值，求其取值范圍．
組卷：46引用：3難度：0.6
解析
22．已知函數(shù)f（x）=axlnx,g（x）=-xe^x+ex（x＞0），（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)），
h
（
x
）
=
g
（
x
）
，
g
（
x
）
＜
f
（
x
）
f
（
x
）
，
g
（
x
）
≥
f
（
x
）
．
（1）若f（x）與g（x）在x=1處的切線相互垂直，求a的值并求h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若a=e,h（x₁）=h（x₂）=h（x₃），x₃＞x₂＞x₁，且x₂=mx₁，證明：當m∈（1，e）時，
x
2
+
x
3
＜
x
1
（
e
2
e
-
1
）
+
1
．
組卷：50引用：2難度：0.2
解析