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2023-2024學年湖南省長沙市周南中學高三（上）第二次段考數(shù)學試卷

發(fā)布：2024/8/21 16:0:1

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知集合M={x∈Z|x²-3x-4≤0}，N={x|0＜x≤3}，則M∩N=（　　）
A．{-1，0，1，2，3} B．{1，2，3} C．（0，3] D．[-1，4]
組卷：648引用：7難度：0.8
解析
2．已知復數(shù)z₁，z₂是方程x²-2x+5=0的兩個虛根，則|z₁-z₂|為（　?。?/h2>
A．4 B．2 C．0 D．
5
組卷：28引用：2難度：0.7
解析
3．在△ABC中，M是AC邊上一點，且
AM
=
2
MC
，若
BM
=
x
BA
+
y
BC
，則y的值為（　?。?/h2>
A．
-
1
3
B．
1
3
C．
-
2
3
D．
2
3
組卷：61引用：3難度：0.8
解析
4．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，
a
n
+
1
=
1
+
a
n
1
-
a
n
，則a₂₀₂₄的值為（　　）
A．2 B．-3 C．
-
1
2
D．
1
3
組卷：205引用：3難度：0.8
解析
5．函數(shù)y=（x³-x）?3^|x|的圖象大致是（　　）
A． B． C． D．
組卷：348引用：8難度：0.8
解析
6．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=60°，則將菱形ABCD以其中一條邊所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為（　?。?/h2>
A．2π B．6π C．
4
3
π
D．8π
組卷：98引用：3難度：0.7
解析
7．已知
sin
（
α
-
π
6
）
+
cosα
=
3
5
，則
cos
（
2
α
+
π
3
）
=（　　）
A．
-
7
25
B．
7
25
C．
-
24
25
D．
24
25
組卷：1033引用：15難度：0.7
解析

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四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

21．2020年1月15日教育部制定出臺了《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》（也稱“強基計劃”），《意見》宣布：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實行強基計劃，強基計劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生，據(jù)悉強基計劃的?？加稍圏c高校自主命題，校考過程中通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié)．
（1）為了更好的服務于高三學生，某研究機構(gòu)對隨機抽取的5名高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得到如表數(shù)據(jù)．

x 6 8 9 10 12

y 2 3 4 5 6

請用相關系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關系可用線性回歸模型進行擬合，并求y關于x的線性回歸方程
?
y
=
?
a
+
?
b
x.
（2）現(xiàn)有甲、乙兩所大學的筆試環(huán)節(jié)都設有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若某考生報考甲大學，每門筆試科目通過的概率均為
2
5
，該考生報考乙大學，每門筆試科目通過的概率依次為m,
1
4
，
2
3
，其中0＜m＜1，根據(jù)規(guī)定每名考生只能報考強基計劃的一所試點高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學期望為依據(jù)作出決策，求該考生更希望通過乙大學筆試時m的取值范圍．
參考公式：
①線性相關系數(shù)r=
n
∑
i
=
1
x
i
y
i
-
n
x
?
y
（
n
∑
i
=
1
x
i
2
-
n
x
2
）
（
n
∑
i
=
1
y
i
2
-
n
y
2
）
，一般地，相關系數(shù)r的絕對值在0.95以上（含0.95）認為線性相關性較強；否則，線性相關性較弱．
②對于一組數(shù)據(jù)（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回歸直線方程
?
y
=
?
b
x
+
?
a
的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
?
b
=
n
∑
i
=
1
x
i
y
i
-
n
x
?
y
n
∑
i
=
1
x
i
2
-
n
x
2
，
?
a
=
y
-
?
b
x
．
組卷：394引用：5難度：0.5
解析
22．已知函數(shù)f（x）=lnx-（m-1）x+1．
（1）若f（x）存在極值，求m的取值范圍；
（2）若m=0，已知方程
f
（
x
e
ax
）
=
2
有兩個不同的實根x₁，x₂，a∈R，證明：
x
1
+
x
2
＞
2
eln
1
a
．（其中e≈2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)）
組卷：104引用：3難度：0.2
解析