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2022-2023學年安徽省合肥一中高一（下）期中數(shù)學試卷

發(fā)布：2024/7/20 8:0:8

一、單項選擇題（共8小題，每題5分，滿分40分）．

1．若復數(shù)z=a²-4+（a-2）i為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（　?。?/h2>
A．2 B．2或-2 C．-2 D．-4
組卷：196引用：8難度：0.7
解析
2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,且滿足c=2acosB，則△ABC的形狀是（　?。?/h2>
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
組卷：1078引用：18難度：0.9
解析
3．某圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為（　?。?/h2>
A．
4
5
π
B．
4
5
3
π
C．
2
2
π
D．
2
2
3
π
組卷：510引用：6難度：0.9
解析
4．△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知
A
=
π
4
，
a
=
2
，
b
=
3
，則B的大小為（　　）
A．
π
6
B．
π
3
C．
π
6
或
5
π
6
D．
π
3
或
2
π
3
組卷：94引用：4難度：0.7
解析
5．設點P為△ABC內(nèi)一點．且2
PA
+2
PB
+
PC
=0，則S_△ABP：S_△ABC=（　?。?/h2>
A．
1
5
B．
2
5
C．
1
4
D．
1
3
組卷：1492引用：7難度：0.6
解析
6．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=BC=2，AA₁=5，E為B₁C₁的中點，則異面直線BD與CE所成角的余弦值為（　　）
A．
5
10
B．
34
34
C．
13
26
D．
13
13
組卷：437引用：7難度：0.7
解析
7．在《九章算術》中，底面為矩形的棱臺被稱為“芻童”．已知棱臺ABCD-A′B′C′D′是一個側(cè)棱相等、高為1的“芻童”，其中AB=2A′B′=2，
BC
=
2
B
′
C
′
=
2
3
，則該“芻童”外接球的表面積為（　　）
A．20π B．
20
3
π
C．
20
5
3
π
D．
5
5
π
組卷：191引用：5難度：0.5
解析

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四、解答題（共6小題，其中第17題10分，其余各題12分，滿分70分）

21．合肥一中云上農(nóng)舍有三處苗圃，分別位于圖中△ABC的三個頂點，已知
AB
=
AC
=
20
2
m
，BC=40m.為了解決三個苗圃的灌溉問題，現(xiàn)要在△ABC區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）且與B，C等距的一點O處建立一個蓄水池，并鋪設管道OA、OB、OC．
（1）設∠OBC=θ，記鋪設的管道總長度為ym,請將y表示為θ的函數(shù)；
（2）當管道總長取最小值時，求θ的值．
組卷：21引用：3難度：0.5
解析
22．數(shù)學史上著名的波爾約-格維也納定理：任意兩個面積相等的多邊形，它們可以通過相互拼接得到．它由法卡斯?波爾約（FarksBolyai）和保羅?格維也納（PaulGerwien）兩位數(shù)學家分別在1833年和1835年給出證明．現(xiàn)在我們來嘗試用平面圖形拼接空間圖形，使它們的全面積都與原平面圖形的面積相等：（1）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1、圖2），其中圖1，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個正三棱錐；圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形（陰影部分），其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的
1
4
，有一組對角為直角，余下部分按虛線折起，可成一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱錐的上底．

（1）試比較圖1與圖2剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大??；
（2）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等．請仿照圖2設計剪拼方案，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明．
組卷：15引用：2難度：0.5
解析