2023年湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（二）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

• 1．已知集合A={x|x²＜2x}，集合B={x|log₂（x-1）＜1}，則A∩B=（　　）

  A．{x|0＜x＜3}

  B．{x|1＜x＜2}

  C．{x|2≤x＜3}

  D．{x|0＜x＜2}
  組卷：116引用：5難度：0.8

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• 2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z?（1-i）=2+i,則

  z

  的虛部是（　?。?/h2>

  A． 3 2

  B．3

  C． - 3 2

  D．4
  組卷：33引用：2難度：0.8

  解析

• 3．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（　?。?/h2>

  A． 1 5

  B． 2 5

  C． 1 2

  D． 4 5
  組卷：3340引用：16難度：0.8

  解析

• 4．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類(lèi)似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，P，AC=BC=4，PA=2，AC⊥BC，PA⊥平面ABC，則該鞠（球）的表面積為（　　）

  A．49π

  B．64π

  C．36π

  D．16π
  組卷：112引用：3難度：0.7

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• 5．如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)ICME-7）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的．已知OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=A₄A₅=A₅A₆=A₆A₇=A₇A₈=?=2，A₁，A₂，A₃?為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列為{a_n}，令

  b

  n

  =

  2

  a

  n

  -

  2

  ，

  S

  n

  為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，則S₁₂₀=（　　）
  

  A．8

  B．9

  C．10

  D．11
  組卷：124引用：5難度：0.6

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• 6．函數(shù)f（x）=2sin（ωx+

  π

  6

  ）（ω∈R）恒有f（x）≤f（2π），且f（x）在[-

  π

  6

  ，

  π

  3

  ]上單調(diào)遞增，則ω的值為（　?。?/h2>

  A．- 5 6

  B． 1 6

  C． 7 6

  D． 1 6 或 7 6
  組卷：361引用：3難度：0.6

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• 7．已知函數(shù)f（x）=（mx-1）e^x-x²，若不等式f（x）＜0的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（　?。?/h2>

  A．（ 2 e 2 + 1 2 ， 1 e +1）	B．[ 2 e 2 + 1 2 ， 1 e +1）
  C．[ 3 e 3 + 1 3 ， 2 e 2 + 1 2 ）	D．（ 3 e 3 + 1 3 ， 2 e 2 + 1 2 ）
  組卷：625引用：6難度：0.3

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四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

• 21．人工智能（AI）是一門(mén)極富挑戰(zhàn)性的科學(xué)，自誕生以來(lái)，理論和技術(shù)日益成熟．某校成立了A，B兩個(gè)研究性小組，分別設(shè)計(jì)和開(kāi)發(fā)不同的AI軟件用于識(shí)別音樂(lè)的類(lèi)別．記兩個(gè)研究性小組的AI軟件每次能正確識(shí)別音樂(lè)類(lèi)別的概率分別為P₁，P₂．為測(cè)試AI軟件的識(shí)別能力，計(jì)劃采取兩種測(cè)試方案．
  方案一：將100首音樂(lè)隨機(jī)分配給A，B兩個(gè)小組識(shí)別，每首音樂(lè)只被一個(gè)AI軟件識(shí)別一次，并記錄結(jié)果；
  方案二：對(duì)同一首歌，A，B兩組分別識(shí)別兩次，如果識(shí)別的正確次數(shù)之和不少于三次，則稱(chēng)該次測(cè)試通過(guò)．
  （1）若方案一的測(cè)試結(jié)果如下：正確識(shí)別的音樂(lè)數(shù)之和占總數(shù)的

  3

  5

  ；在正確識(shí)別的音樂(lè)數(shù)中，A組占

  2

  3

  ；在錯(cuò)誤識(shí)別的音樂(lè)數(shù)中，B組占

  1

  2

  ．
  （ⅰ）請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為識(shí)別音樂(lè)是否正確與兩種軟件類(lèi)型有關(guān)？
  

  	正確識(shí)別	錯(cuò)誤識(shí)別	合計(jì)
  A組軟件
  B組軟件
  合計(jì)			100

  （ⅱ）利用（ⅰ）中的數(shù)據(jù)，視頻率為概率，求方案二在一次測(cè)試中獲得通過(guò)的概率；
  （2）研究性小組為了驗(yàn)證AI軟件的有效性，需多次執(zhí)行方案二，假設(shè)

  P

  1

  +

  P

  2

  =

  4

  3

  ，問(wèn)該測(cè)試至少要進(jìn)行多少次，才能使通過(guò)次數(shù)的期望值為16？并求此時(shí)P₁，P₂的值．附：

  χ

  2

  =

  n

  （

  ad

  -

  bc

  ）

  2

  （

  a

  +

  b

  ）

  （

  c

  +

  d

  ）

  （

  a

  +

  c

  ）

  （

  b

  +

  d

  ）

  ，其中n=a+b+c+d.
  

  α	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
  xα	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828
  組卷：75引用：4難度：0.5

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• 22．已知函數(shù)f（x）=（cosx-1）e^-x，g（x）=ax²+（1-e^x）x（a∈R）．
  （1）當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
  （2）當(dāng)

  x

  ∈

  [

  -

  π

  2

  ，

  +

  ∞

  ）

  時(shí)，不等式

  xf

  （

  x

  ）

  ≥

  g

  （

  x

  ）

  e

  x

  恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
  組卷：212引用：4難度：0.4

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