當(dāng)前位置： 2022-2023學(xué)年四川省內(nèi)江六中高二（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（文科）> 試題詳情

已知雙曲線
x
2
4
-
y
2
16
=
1
．
（1）試問過點(diǎn)N（1，1）能否作一條直線與雙曲線交于S，T兩點(diǎn)，使N為線段ST的中點(diǎn)，如果存在，求出其方程；如果不存在，說明理由；
（2）直線l：y=kx+m（k≠±2）與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A（x₀，0），B（0，y₀）兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P（x₀，y₀）的軌跡方程．

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；雙曲線的幾何特征．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評】

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發(fā)布：2024/7/19 8:0:9組卷：41引用：4難度：0.4

相似題

1．已知焦點(diǎn)在y軸的橢圓C上、下焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，且長軸長為4，離心率為
3
2
，直線y=mx+1與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求m的值；
（3）已知真命題：“如果點(diǎn)P（x₀，y₀）在橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上，那么過點(diǎn)P的橢圓的切線方程為
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=1．”利用上述結(jié)論，解答下面問題：
若點(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率為k的直線l,使l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線的PF₁，PF₂斜率分別為k₁，k₂．若k≠0，試證明k（k₁+k₂）為定值，并求出這個(gè)定值．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：72引用：1難度：0.1
解析
2．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓Ω，它的離心率為
1
2
，一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)重合，過直線l：x=4上一點(diǎn)M引橢圓Ω的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）若在橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
上的點(diǎn)（x₀，y₀）處的橢圓的切線方程是
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=1．求證：直線AB恒過定點(diǎn)C；并求出定點(diǎn)C的坐標(biāo)．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：83引用：1難度：0.1
解析
3．橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知Q（x₀，y₀）為橢圓上任意一點(diǎn)，求以Q為切點(diǎn)，橢圓的切線方程．
（3）設(shè)點(diǎn)P為直線x=4上一動(dòng)點(diǎn)，過P作橢圓兩條切線PA，PB，求證直線AB過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：77引用：1難度：0.1
解析

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