已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖像的一個(gè)對稱中心為

（

π

4

，

0

）

，將函數(shù)f（x）圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖像向右平移

π

2

個(gè)單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖像．
（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；
（2）是否存在

x

0

∈

（

π

6

，

π

4

）

，使得f（x₀）、g（x₀）、f（x₀）g（x₀）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請求出該數(shù)列公差絕對值的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，判斷F（x）=f（x）+ag（x）在（0，2022π）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．