當(dāng)前位置： 2022-2023學(xué)年廣西南寧四十七中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

請閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．

【閱讀材料】
在《阿基米德全集》中的《引理集》中記述了偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德提出的六個有關(guān)圓的引理，其中第二個引理是：
如圖1，點P是
?
AB
的任意一點，PC⊥AB于點C，點D在弦AB上且AC=CD，在
?
AB
上取一點Q，使
?
PQ
=
?
PA
，連接BQ，則有BQ=BD．

【解決問題】
（1）如圖2，小明同學(xué)嘗試說明“BQ=BD”，于是他連接了PA，PB，PD，PQ，請根據(jù)小明的思路完成后續(xù)證明過程；
（2）如圖3，以AB為直徑的半圓上有一點P，AP=6，AB=10，直線l與⊙O相切于點P，過點B作BE⊥l于點E，交⊙O于點Q，求出BQ的長．

【考點】圓的綜合題．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/8/25 18:0:8組卷：242引用：6難度：0.5

相似題

1．如圖，四邊形ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形，AC⊥BD交于點E，延長AD、BC交于點F，∠BAC=2∠CAD．
（1）求證：AB=AC；
（2）若
sin
F
=
3
4
，AB=8，求CF的長；
（3）如圖2，連結(jié)OC交BD于H，若BH=4，DH=3，求三角形CDF的面積．
發(fā)布：2024/10/25 4:0:2組卷：211引用：1難度：0.3
解析
2．點A是半徑為2
3
的⊙O上一動點，點B是⊙O外一定點，OB=6．連接OA，AB．
（1）【閱讀感知】如圖①，當(dāng)△ABC是等邊三角形時，連接OC，求OC的最大值；
將下列解答過程補充完整．
解：將線段OB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°到O′B，連接OO′，CO′．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠OBO′=60°，BO′=BO=6，即△OBO′是等邊三角形．
∴OO′=BO=6
又∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABC=60°，AB=BC
∴∠OBO′=∠ABC=60°
∴∠OBA=∠O′BC
在△OBA和△O′BC中，
OB
=
O
′
B
∠
OBA
=∠
O
′
BC
AB
=
CB

∴
（SAS）
∴OA=O′C
在△OO′C中，OC＜OO′+O′C
當(dāng)O，O′，C三點共線，且點C在OO′的延長線上時，OC=OO′+O′C
即OC≤OO′+O′C
∴當(dāng)O，O′，C三點共線，且點C在OO′的延長線上時，OC取最大值，最大值是
．
（2）【類比探究】如圖②，當(dāng)四邊形ABCD是正方形時，連接OC，求OC的最小值；
（3）【理解運用】如圖③，當(dāng)△ABC是以AB為腰，頂角為120°的等腰三角形時，連接OC，求OC的最小值，并直接寫出此時△ABC的周長．
發(fā)布：2024/11/4 8:0:2組卷：1517引用：1難度：0.1
解析
3．如圖，在等腰銳角三角形ABC中，AB=AC，過點B作BD⊥AC于D，延長BD交△ABC的外接圓于點E，過點A作AF⊥CE于F，AE，BC的延長線交于點G．
（1）判斷EA是否平分∠DEF，并說明理由；
（2）求證：①BD=CF；
②BD²=DE²+AE?EG．
發(fā)布：2024/11/1 8:0:2組卷：1679引用：5難度：0.3
解析

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1．如圖，四邊形ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形，AC⊥BD交于點E，延長AD、BC交于點F，∠BAC=2∠CAD．（1）求證：AB=AC；（2）若sinF=34，AB=8，求CF的長；（3）如圖2，連結(jié)OC交BD于H，若BH=4，DH=3，求三角形CDF的面積．

3．如圖，在等腰銳角三角形ABC中，AB=AC，過點B作BD⊥AC于D，延長BD交△ABC的外接圓于點E，過點A作AF⊥CE于F，AE，BC的延長線交于點G．（1）判斷EA是否平分∠DEF，并說明理由；（2）求證：①BD=CF；②BD2=DE2+AE?EG．

1．如圖，四邊形ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形，AC⊥BD交于點E，延長AD、BC交于點F，∠BAC=2∠CAD．
（1）求證：AB=AC；
（2）若
sin
F
=
3
4
，AB=8，求CF的長；
（3）如圖2，連結(jié)OC交BD于H，若BH=4，DH=3，求三角形CDF的面積．

3．如圖，在等腰銳角三角形ABC中，AB=AC，過點B作BD⊥AC于D，延長BD交△ABC的外接圓于點E，過點A作AF⊥CE于F，AE，BC的延長線交于點G．
（1）判斷EA是否平分∠DEF，并說明理由；
（2）求證：①BD=CF；
②BD²=DE²+AE?EG．