2022-2023學(xué)年上海市金山中學(xué)、閔行中學(xué)、嘉定一中三校高二（下）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（5月份）

一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）

• 1．若集合A={0，m}，B={1，2}，A∩B={1}，則實(shí)數(shù)m=

  ．
  組卷：24引用：3難度：0.9

  解析

• 2．已知向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  x

  ）

  ，

  b

  =

  （

  4

  ，

  2

  ）

  ，若

  a

  ∥

  b

  ，則實(shí)數(shù)x的值為

  ．
  組卷：18引用：2難度：0.7

  解析

• 3．函數(shù)y=（sinx+cosx）²的最小正周期是

  ．
  組卷：546引用：17難度：0.9

  解析

• 4．已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=4i（i為虛數(shù)單位），則z=

  ．
  組卷：20引用：4難度：0.9

  解析

• 5．已知某圓錐的高為4，底面積為9π，則該圓錐的側(cè)面積為

  ．
  組卷：59引用：4難度：0.7

  解析

• 6．計(jì)算：

  +

  ∞

  ∑

  i

  =

  1

  1

  3

  i

  =

  ．
  組卷：8引用：2難度：0.9

  解析

• 7．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  x

  ，則

  lim

  Δ

  x

  →

  0

  f

  （

  2

  +

  Δ

  x

  ）

  -

  f

  （

  2

  ）

  Δ

  x

  =

  ．
  組卷：75引用：6難度：0.8

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）

• 20．把右半個(gè)橢圓

  C

  1

  ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =

  1

  （

  x

  ≥

  0

  ）

  和圓弧

  C

  2

  ：

  （

  x

  -

  1

  ）

  2

  +

  y

  2

  =

  4

  （

  x

  ＜

  0

  ）

  合成的封閉曲線Γ稱為“曲圓”，“曲圓”與x軸的左、右交點(diǎn)依次記為A₁、A₂，與y軸的上、下交點(diǎn)依次記為B₁、B₂，過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線l與“曲圓”交于P、Q兩點(diǎn)．
  （1）當(dāng)點(diǎn)Q與B₂重合時(shí)，求△A₁PQ的周長；
  （2）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)都在半橢圓C₁時(shí)，是否存在以PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)A₁？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由；
  （3）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求△A₁PQ的面積的最大值．
  組卷：63引用：2難度：0.3

  解析

• 21．已知曲線y=f（x），x∈D在點(diǎn)A（x₀，f（x₀））處的切線為l₀，若曲線y=f（x）上存在異于A的點(diǎn)P（x₁，f（x₁）），使曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線l₁與l₀重合，則稱P為曲線y=f（x）關(guān)于A的“公切點(diǎn)”；若曲線y=f（x）上存在Q（x₂，f（x₂）），使曲線y=f（x）在Q處的切線l₂與l₀垂直，則稱Q為曲線y=f（x）關(guān)于A的“正交點(diǎn)”．
  （1）求曲線

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  x

  2

  關(guān)于A（2，2）的“正交點(diǎn)”；
  （2）若

  f

  （

  x

  ）

  =

  -

  1

  8

  sin

  2

  x

  -

  cosx

  -

  1

  4

  x

  ，x∈[0，2π]，已知曲線y=f（x）上存在關(guān)于A（x₀，f（x₀））的“正交點(diǎn)”，求x₀的取值集合；
  （3）已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx , x ＞ 0

  e x + a , x ＜ 0

  ，若對任意x₀∈（1，e），曲線y=f（x）上都存在關(guān)于A（x₀，f（x₀））的“正交點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
  組卷：11引用：2難度：0.3

  解析