2023-2024學年湖南省衡陽八中高三（上）段考數學試卷（二）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．已知復數z是一元二次方程x²-2x+2=0的一個根，則|z|的值為（　?。?/h2>

  A．1

  B． 2

  C．0

  D．2
  組卷：472難度：0.9

  解析

• 2．已知集合A={x|x²-8x＜0}，B={x|x=3k-1，k∈N}，則A∩B=（　?。?/h2>

  A．{-1，2，5，8}

  B．{-1，2，5}

  C．{2，5，8}

  D．{2，5}
  組卷：76引用：3難度：0.8

  解析

• 3．已知m＞0，則“a＞b＞0”是“

  b

  +

  m

  a

  +

  m

  ＞

  b

  a

  ”的（　?。?/h2>

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：106引用：4難度：0.7

  解析

• 4．已知（

  x

  +

  a

  x

  ）⁸的展開式中各項系數之和為0，則展開式中x的系數為（　?。?/h2>

  A．28

  B．-28

  C．45

  D．-45
  組卷：327引用：3難度：0.7

  解析

• 5．已知x＞0，y＞0，且（

  1

  2

  ）^x=x,2^y=log_yx,則（　　）

  A．0＜y＜x＜1

  B．0＜x＜y＜1

  C．x＞y＞1

  D．y＞x＞1
  組卷：97難度：0.7

  解析

• 6．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁如圖所示，AB=4，BC=3，AC=5，D為棱AB的中點，三棱柱的各頂點在同一球面上，且球的表面積為61π，則異面直線A₁D和B₁C所成的角的余弦值為（　?。?/h2>

  A． 3 2 5

  B． 2 5

  C． 4 2 5

  D． 16 2 25
  組卷：348難度：0.6

  解析

• 7．如圖，在平面直角坐標系中，以OA為始邊，角α與β的終邊分別與單位圓相交于E，F兩點，且

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，

  β

  ∈

  （

  π

  2

  ，

  π

  ）

  ，若直線EF的斜率為

  1

  4

  ，則sin（α+β）=（　?。?/h2>

  A． - 15 17

  B． - 8 17

  C． 8 17

  D． 15 17
  組卷：192引用：4難度：0.6

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．已知函數f（x）=xlnx-ax²+3x.
  （1）若對任意的x∈（0，+∞），f（x）≤1恒成立，求實數a的取值范圍；
  （2）證明：當n∈N^*時，

  3

  1

  ×

  2

  +

  4

  2

  ×

  3

  +

  5

  3

  ×

  4

  +

  …

  +

  n

  +

  2

  n

  （

  n

  +

  1

  ）

  ≥

  ln

  （

  n

  +

  1

  ）

  ．
  組卷：151引用：4難度：0.5

  解析

• 22．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）的離心率為

  2

  2

  ，三點

  M

  1

  （

  -

  2

  ，

  2

  ）

  ，

  M

  2

  （

  2

  ，-

  2

  ）

  ，

  M

  3

  （

  2

  ，

  3

  2

  ）

  中恰有兩個點在橢圓上．
  （Ⅰ）求橢圓C的方程；
  （Ⅱ）若C的上頂點為E，右焦點為F，過點F的直線交C于A，B兩點（與橢圓頂點不重合），直線EA，EB分別交直線x-y-4=0于P，Q兩點，求△EPQ面積的最小值．
  組卷：489引用：6難度：0.4

  解析