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2013年4月全國(guó)100所名校單元測(cè)試示范卷數(shù)學(xué)（一）推理與證明

發(fā)布：2024/11/22 17:0:2

一.選擇題（每小題5分，共150分）

1．給出下列三個(gè)等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），
f
（
x
+
y
）
=
f
（
x
）
+
f
（
y
）
1
-
f
（
x
）
f
（
y
）
．下列函數(shù)中不滿足其中任何一個(gè)等式的是（　?。?/h2>
A．f（x）=3^x B．f（x）=sinx C．f（x）=log₂x D．f（x）=tanx
組卷：1139引用：19難度：0.9
解析

2．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（　?。?/h2>

A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度

B．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度

C．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度

D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度

組卷：129引用：13難度：0.9

解析

3．對(duì)于不等式
n
2
+
n
＜n+1（n∈N^*），某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，
1
2
+
1
＜1+1，不等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，不等式成立，即
k
2
+
k
＜k+1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，
（
k
+
1
）
2
+
（
k
+
1
）
=
k
2
+
3
k
+
2
＜
（
k
2
+
3
k
+
2
）
+
（
k
+
2
）
=
（
k
+
2
）
2
=（k+1）+1，∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．
則上述證法（　?。?/h2>
A．過(guò)程全部正確
B．n=1驗(yàn)得不正確
C．歸納假設(shè)不正確
D．從n=k到n=k+1的推理不正確
組卷：217引用：31難度：0.9
解析
4．設(shè)a,b,c,d,m,n均為正實(shí)數(shù)，p=
ab
+
cd
，q=
ma
+
nc
?
b
m
+
d
n
，那么（　?。?/h2>
A．p≤q
B．p≥q
C．p＜q
D．p、q之間的大小關(guān)系不定
組卷：52引用：1難度：0.9
解析
5．已知
2
+
2
3
=
2
2
3
，
3
+
3
8
=
3
3
8
，
4
+
4
15
=
4
4
15
，…，若
6
+
n
m
=
6
n
m
（m,n均為正實(shí)數(shù)），根據(jù)以上等式，可推測(cè)m,n的值，則m+n等于（　　）
A．40 B．41 C．42 D．43
組卷：34引用：2難度：0.7
解析
6．觀察下列各式：7²=49，7³=343，7⁴=2401，…，則7²⁰¹¹的末兩位數(shù)字為（　　）
A．01 B．43 C．07 D．49
組卷：1002引用：26難度：0.7
解析
7．先閱讀下面的文字：“求
1
+
1
+
1
+
…
的值時(shí)，采用了如下方法：令
1
+
1
+
1
+
…
=x,則有x=
1
+
x
，兩邊同時(shí)平方，得1+x=x²，解得x=
1
+
5
2
（負(fù)值已舍去）”可用類比的方法，求得1+
1
2
+
1
1
+
1
2
+
…
的值等于（　?。?/h2>
A．
3
-
1
2
B．
3
+
1
2
C．
1
-
3
2
D．
-
1
-
3
2
組卷：68引用：3難度：0.7
解析

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三.解答題（共6小題，共75分）

20．（1）如圖①、②、③、④為四個(gè)平面圖，數(shù)一數(shù)，每個(gè)平面圖各有多少個(gè)頂點(diǎn)？多少條邊？它們把平面分成了多少個(gè)區(qū)域？請(qǐng)將結(jié)果填入下表中：

頂點(diǎn) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù)
①
②
③
④
（2）觀察上表，推斷一個(gè)平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)V，邊數(shù)E，區(qū)域數(shù)F之間有什么關(guān)系；
（3）現(xiàn)已知某個(gè)平面圖形有999個(gè)頂點(diǎn)，且圍成了999個(gè)區(qū)域，試根據(jù)以上關(guān)系確定這個(gè)平面圖形的邊數(shù)．
組卷：35引用：3難度：0.5
解析
21．（1）已知：a,b,x均為正數(shù)，且a＞b,求證：1＜
a
+
x
b
+
x
＜
a
b
；
（2）若a,b,x均為正數(shù)，且a＜b,對(duì)真分?jǐn)?shù)
a
b
，給出類似于第（1）小問(wèn)的結(jié)論；（不需證明）
（3）求證：△ABC中，
sin
A
sin
B
+
sin
C
+
sin
B
sin
C
+
sin
A
+
sin
C
sin
A
+
sin
B
＜2．
組卷：24引用：4難度：0.5
解析

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	頂點(diǎn)	邊數(shù)	區(qū)域數(shù)
①
②
③
④

2013年4月全國(guó)100所名校單元測(cè)試示范卷數(shù)學(xué)（一）推理與證明

一.選擇題（每小題5分，共150分）

1．給出下列三個(gè)等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），f（x+y）=f（x）+f（y）1-f（x）f（y）．下列函數(shù)中不滿足其中任何一個(gè)等式的是（ ?。?/h2>

2．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（ ?。?/h2>

4．設(shè)a,b,c,d,m,n均為正實(shí)數(shù)，p=ab+cd，q=ma+nc?bm+dn，那么（ ?。?/h2>

5．已知2+23=223，3+38=338，4+415=4415，…，若6+nm=6nm（m,n均為正實(shí)數(shù)），根據(jù)以上等式，可推測(cè)m,n的值，則m+n等于（ ）

6．觀察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，則72011的末兩位數(shù)字為（ ）

7．先閱讀下面的文字：“求1+1+1+…的值時(shí)，采用了如下方法：令1+1+1+…=x,則有x=1+x，兩邊同時(shí)平方，得1+x=x2，解得x=1+52（負(fù)值已舍去）”可用類比的方法，求得1+12+11+12+…的值等于（ ?。?/h2>

三.解答題（共6小題，共75分）

1．給出下列三個(gè)等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），
f
（
x
+
y
）
=
f
（
x
）
+
f
（
y
）
1
-
f
（
x
）
f
（
y
）
．下列函數(shù)中不滿足其中任何一個(gè)等式的是（　?。?/h2>

2．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（　?。?/h2>

4．設(shè)a,b,c,d,m,n均為正實(shí)數(shù)，p=
ab
+
cd
，q=
ma
+
nc
?
b
m
+
d
n
，那么（　?。?/h2>

5．已知
2
+
2
3
=
2
2
3
，
3
+
3
8
=
3
3
8
，
4
+
4
15
=
4
4
15
，…，若
6
+
n
m
=
6
n
m
（m,n均為正實(shí)數(shù)），根據(jù)以上等式，可推測(cè)m,n的值，則m+n等于（　　）

6．觀察下列各式：7²=49，7³=343，7⁴=2401，…，則7²⁰¹¹的末兩位數(shù)字為（　　）

三.解答題（共6小題，共75分）