2022-2023學(xué)年江西師大附中高二（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

• 1．若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是

  1

  2

  ，-

  1

  3

  ，

  1

  4

  ，-

  1

  5

  ，則此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（　?。?/h2>

  A． （ - 1 ） n n

  B． （ - 1 ） n - 1 n

  C． （ - 1 ） n + 1 n + 1

  D． （ - 1 ） n n + 1
  組卷：199引用：8難度：0.9

  解析

• 2．方程x²+4x+1=0的兩根的等差中項(xiàng)為（　?。?/h2>

  A．4

  B．-4

  C．2

  D．-2
  組卷：198引用：2難度：0.8

  解析

• 3．等比數(shù)列{a_n}中，a₂a₄=16，a₁+a₅=17，則a₃=（　?。?/h2>

  A．-4

  B．2

  C．4

  D．±4
  組卷：216引用：3難度：0.7

  解析

• 4．已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S₁₉=57，則3a₅-a₁-a₄=（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．6
  組卷：50引用：6難度：0.7

  解析

• 5．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，其前n項(xiàng)和為S_n（n∈N₊），且

  1

  a

  1

  -

  1

  a

  2

  =

  2

  a

  3

  ，則S₅=（　?。?/h2>

  A．15

  B．16

  C．31

  D．32
  組卷：42引用：2難度：0.8

  解析

• 6．從一個(gè)裝有1個(gè)白球和3個(gè)紅球的袋子中取出2個(gè)球，記X為取得紅球的個(gè)數(shù)，則其期望E（X）=（　?。?/h2>

  A．1

  B． 3 2

  C．2

  D．3
  組卷：123引用：2難度：0.7

  解析

• 7．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間（單位：小時(shí)）與成績(jī)（單位：分）近似于線性相關(guān)關(guān)系．對(duì)某小組學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)間x與數(shù)學(xué)成績(jī)y進(jìn)行數(shù)據(jù)收集如表：
  

  x	15	16	18	19	22
  y	102	98	115	115	120

  由表中樣本數(shù)據(jù)求得回歸方程為y=bx+a,則點(diǎn)（a,b）與直線x+18y=110的位置關(guān)系是（　?。?/h2>

  A．點(diǎn)在直線左側(cè)	B．點(diǎn)在直線右側(cè)
  C．點(diǎn)在直線上	D．無法確定
  組卷：22引用：2難度：0.8

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四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．規(guī)定抽球試驗(yàn)規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個(gè)，每次有放回的任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個(gè)球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失?。诔槿∵^程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個(gè)紅球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．
  （1）某人進(jìn)行該抽球試驗(yàn)時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進(jìn)行抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
  （2）為驗(yàn)證抽球試驗(yàn)成功的概率不超過

  1

  2

  ，有1000名數(shù)學(xué)愛好者獨(dú)立的進(jìn)行該抽球試驗(yàn)，記t表示成功時(shí)抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)，y表示對(duì)應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：
  

  t	1	2	3	4	5
  y	232	98	60	40	20

  求y關(guān)于t的回歸方程

  ?

  y

  =

  ?

  b

  t

  +

  ?

  a

  ，并預(yù)測(cè)成功的總?cè)藬?shù)（精確到1）；
  （3）證明：

  1

  2

  2

  +

  （

  1

  -

  1

  2

  2

  ）

  1

  3

  2

  +

  （

  1

  -

  1

  2

  2

  ）

  （

  1

  -

  1

  3

  2

  ）

  1

  4

  2

  +

  ?

  +

  （

  1

  -

  1

  2

  2

  ）

  （

  1

  -

  1

  3

  2

  ）

  ?

  （

  1

  -

  1

  n

  2

  ）

  1

  （

  n

  +

  1

  ）

  2

  ＜

  1

  2

  ．
  附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：

  ?

  b

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  y

  i

  -

  n

  x

  ?

  y

  n

  ∑

  i

  =

  1

  x

  2

  i

  -

  n

  x

  2

  ，

  ?

  a

  =

  y

  -

  ?

  b

  x

  
  參考數(shù)據(jù)：

  5

  ∑

  i

  =

  1

  x

  2

  i

  =

  1

  .

  46

  ，

  x

  =

  0

  .

  46

  ，

  x

  2

  =

  0

  .

  212

  （其中

  x

  i

  =

  1

  t

  i

  ，

  x

  =

  1

  5

  5

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  ）．
  組卷：486引用：7難度：0.4

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• 22．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張紙片，按如下步驟折紙：
  步驟1：在紙上畫一個(gè)圓A，并在圓外取一定點(diǎn)B；
  步驟2：把紙片折疊，使得點(diǎn)B折疊后與圓A上某一點(diǎn)重合；
  步驟3：把紙片展開，并得到一條折痕；
  步驟4：不斷重復(fù)步驟2和3，得到越來越多的折痕．
  你會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)折痕足夠密時(shí)，這些折痕會(huì)呈現(xiàn)出一個(gè)雙曲線的輪廓．
  若取一張足夠大的紙，畫一個(gè)半徑為2的圓A，并在圓外取一定點(diǎn)B，AB=4，按照上述方法折紙，點(diǎn)B折疊后與圓A上的點(diǎn)T重合，折痕與直線TA交于點(diǎn)P，P的軌跡為曲線C．
  （1）以AB所在直線為x軸建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求C的方程；
  （2）設(shè)AB的中點(diǎn)為O，若存在一個(gè)定圓O，使得當(dāng)C的弦PQ與圓O相切時(shí)，C上存在異于P，Q的點(diǎn)M，N使得PM∥QN，且直線PM，QN均與圓O相切．
  （i）求證：OP⊥OQ；
  （ii）求四邊形PQNM面積的取值范圍．
  組卷：20引用：2難度：0.3

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