當(dāng)前位置： 2022-2023學(xué)年貴州省遵義市紅花崗區(qū)清華中學(xué)高二（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

已知橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁作直線L，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，△F₂AB的周長(zhǎng)為8，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)
（
3
，
3
2
）
．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線L的垂線，交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，試判斷
1
|
AB
|
+
4
|
PQ
|
2
是否為定值，若是，求出這個(gè)定值．

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：86引用：1難度：0.6

相似題

1．已知橢圓
4
x
2
25
+
y
2
3
=
1
的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，第一象限內(nèi)的點(diǎn)M在橢圓上，且滿足MF₁⊥MF₂，點(diǎn)N在線段F₁F₂上，設(shè)λ=
|
F
1
N
|
|
N
F
2
|
，將△MF₁F₂沿MN翻折，使得平面MNF₁與平面MNF₂垂直，要使翻折后|F₁F₂|的長(zhǎng)度最小，則λ=（　　）
A．
3
2
B．2 C．
4
9
D．
9
4
發(fā)布：2024/11/6 12:0:1組卷：454引用：4難度：0.3
解析
2．歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫(kù)莫斯（公元前375年-325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線l′表示與橢圓C的切線垂直且過(guò)相應(yīng)切點(diǎn)的直線，利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問(wèn)題：
如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F₁（-c,0），F(xiàn)₂（c,0）（c＞0），由F₁發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到F₁經(jīng)過(guò)的路程為
8
3
3
c
．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）點(diǎn)P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)P處的切線為l,F₂在l上的射影H在圓x²+y²=4上，求橢圓C的方程．
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：137引用：1難度：0.5
解析
3．橢圓的光學(xué)性質(zhì)：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)有一橢圓
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
，長(zhǎng)軸A₁A₂長(zhǎng)為4，從一個(gè)焦點(diǎn)F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射之后恰好與x軸垂直，且
PF
=
5
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)Q為直線x=4上一點(diǎn)，且Q不在x軸上，直線QA₁，QA₂與橢圓C的另外一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，設(shè)△QA₁A₂，△QMN的面積分別為S₁，S₂，求
S
1
S
2
的最大值．
發(fā)布：2024/11/6 8:0:1組卷：43引用：2難度：0.5
解析

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